佩尔方程

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佩尔方程

1 定义

  佩尔方程是具有形式：
$$x^2-D{y}^2=1$$
的方程，其中$D$是一个固定的正整数并且不是完全平方数。

2 佩尔方程的历史

2.1 阿基米德牛群问题

2.2 三个重要的历史人物

  时光飞逝，求解佩尔方程的第一个重要进展出现于印度。

  婆罗摩笈多（Brahmagupta，598–670）：婆罗摩笈多是同时代印度最著名的数学家之一，他最著名的著作是写于公元628年的《Brahmasphutasiddhanta》（宇宙的开始）。这本非同寻常的书中包含了对形如$x^2-D{y}^2=A$的方程，特别是”佩尔“方程$x^2-D{y}^2=1$的讨论。婆罗摩笈多描述了一种用已知解创造新解的混合方法，他将该方法称为samasa，他还给出了一个（有时）能得到初始解的算法。

  婆什伽罗（Bhaskaracharya，1114–1185）：推广了婆罗摩笈多关于佩尔方程的工作，他描述了一个通过对原始近似解反复约化而得到真解的方法。婆什伽罗称自己的方法为chakravala。现在，这种类型的论证被称为”费马递降法“。婆什伽罗通过解$x^2-61y^2=1$说明了他的方法，这比费马用此方程向他人挑战早了500年。

  布朗克尔（William Brouncker）描述了求解佩尔方程的一般方法，布朗克尔为了说明他的方法的有效性，仅用几个小时就求出方程：
$$x^2-313y^2=1$$
的最小平凡解
$$(32188120829134849,1819380158564160)$$

  沃利斯和费马都断言佩尔方程总是有解的。有趣的是，欧拉错误地认为沃利斯书中的方法属于另一位英国数学家佩尔，并且正是欧拉将这个方程称为我们目前所熟知的”佩尔方程“。这个误解使佩尔获得了不朽的数学名声。为了有利于澄清历史，”佩尔方程“的一个更好的名称应该为”$B^3$方程“，以此纪念这三位姓氏以$B$开头的数学家。

3 佩尔方程定理

$$\begin{array}{rl}1=1^2& =(x_1+y_1\sqrt{D}{)}^2(x_1-y_1\sqrt{D}{)}^2\\ & =((x_1^2+y_1^{2}D)+2x_1{y}_1\sqrt{D})((x_1^2+y_1^{2}D)-2x_1{y}_1\sqrt{D})\\ & =(x_1^2+y_1^{2}D{)}^2-(2x_1{y}_1{)}^{2}D\end{array}$$
也就是说：
$$(x_1^2+y_1^{2}D,2x_1{y}_1)$$
是一个新解。取$3,4,\cdots$次幂可以得到任意多个解。

  不过还有两个很麻烦的问题：

• 每个佩尔方程都有解吗？
• 假定每个佩尔方程确实有解，是否每个解都可通过对最小解取幂而得到？

佩尔方程定理回答了这两个问题。

  佩尔方程定理（证明略）：设$D$是一个正整数且不是完全平方数，则佩尔方程：
$$x^2-D{y}^2=1$$
总有正整数解，如果$(x_1,x_2)$是使$x_1$最小的解，则每个解$(x_k,y_k)$可通过取幂得到：
$$x_k+y_k\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D}{)}^k,k=1,2,3,\cdots$$

  下图列出了所有$D\le 75$的佩尔方程的最小解，有趣的是，有时候最小解相当小，有时候最小解有很巨大。关于何时最小解真的很小，何时最小解很大的问题，还没有已知的模式，已经知道方程$x^2-D{y}^2=1$的最小解$(x,y)$满足$x<2^D$，但这显然不是一个很好的估计~

4 参考资料