条件概率和全概率公式

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条件概率公式

1.条件概率公式:设A,B为两个事件，且P(B)>0，则称 $\frac{P(AB)}{P(B)}$ 为事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(A|B),即：

= $\frac{P(AB)}{P(B)}$

2.乘法定理：由条件概率定义 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ 0\right )”>，两边同乘以P(A)可得P(AB)=P(A)P(B|A),由此可得定理：

设P(B)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)

乘法定理推广：设A，B，C为3个事件，P(AB)>0；则有： P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

全概率公式

全概率公式：设B为样本空间 $\eta$ 中的任一事件，A1,A2…..An为 $_{}\eta$ 的一个划分，且P(Ai)>0,i=1,2,3…..n，则有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+….+P(An)P(B|An)= $\sum_{i=1}^{n}P(Ai)P(B|Ai)$ ,称该公式为全概率公式

贝叶斯公式

贝叶斯方式：设样本空间为 $\eta$ ，B为样本空间的事件，A1,A2….An为样本空间的一个划分，且P(B)>0,P(Ai)>0,i=1,2,3…n,则有： $P(Ai|B)=\frac{P(Ai)P(B|Ai)}{\sum_{i=1}^{n}P(Ai)P(B|Ai)}$ ,i=1,2….n,c称为贝叶斯公式，也称为逆概率公式

独立性

定义：若事件A1,A2满足：P(A1A2)=P(A1)P(A2)，则称事件A,B相互独立

定理：若事件A与B相互独立，则下列各事件也相互独立： $A ,\bar{B};\bar{A},B;\bar{A},\bar{B}$

定理：若事件A,B相互独立，且0<P(A)<1,则P(B|A)=P(B| $\bar{A}$ )=P(B)

定义:设A1,B2,C3是3个事件。如果同时满足：

P(A1B2)=P(A1)P(B2),

P(A1C3)=P(A1)P(C3),

P(B2C3)=P(B2)P(C3),

P(A1B2C3)=P(A1)P(B2)P(C3)

则称A1,B2,C3为相互独立事件

定义：P(A1A2….An)=P(A1)P(A2)…P(An),则称A1,A2…An是相互独立事件

·若A1,A2…An事件相互独立，则其中任意k个事件也相互独立

·若A1,A2…An事件相互独立，则其中任意个事件的对立事件也相互独立

伯努利实验

若实验E只有A和 $\bar{A}$ ,则称E为伯努利实验，设P(A)=p，0<p<1,此时 $P(\bar{A})$ =1-p；将E实验重复进行n次，则这一连串重复试验为n重伯努利实验

n重伯努利实验中A出现k次的概率计算公式： $P_{n}=C_{n}^{k} (p)^{k} (1-p)^{n-k}$ , k=0,1,2…n

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条件概率和全概率公式

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