Sinc函数同一个定积分， 三种不同的方法

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01 Sinc函数

一、背景介绍

  有一个函数，名字叫Sinc函数，也被称为抽样函数，  Sinc函数定义为sin(x) 除以x。  函数图像是一个左右对称的偶函数，呈现漂亮的震荡衰减的趋势。  Sinc函数对应的原函数，是一个超越函数，无法使用初等函数在经过有限个步骤进行表示。 但是计算该函数的面积， 也就是求Sinc函数的定积分，  这个值是存在的，它等于π。  如何方便求取这个定积分呢？  这里介绍三种方法，第一种利用Feynman积分技巧。  第二种方法利用复变函数围线积分定理。  第三种方法是利用傅里叶变换对偶定理。  下面让我们分别看一下这三种方法的求解特点。

二、Feynman方法

  在这篇CSDN博文上，给出了三种求解方法。  首先让我们看一下Feynman积分方法。对于Sinc函数的积分，  根据函数的对称性，它等于两倍的半边积分。  因此只需要求得0到正无穷的积分，乘以二便得到Sinc函数的面积。  这一步是关键，定义一个参数函数H(t)，  在积分内增加一个指数项，它使得积分值与参数t有关系。  下面对于定义的函数H(t)求关于t的导数，这是Feynman技巧的关键。可以看到H(0)就是所求Sinc函数的面积。  通过对参数t求导，可以看到积分中就消掉了比较令人讨厌的分母x。  最终剩下不带分母的表达式的积分。如果大家对于拉普拉斯变换比较熟悉的话，可以看到这个积分值应该是关于sin(x)的拉普拉斯变化。  下面应用两次分部积分，可以求解。  对于具体的分部积分过程，这里就不在详细讨论了。  这里给出最终的积分结果。 大家可以对比一下，这与sin(x)的拉普拉斯变换的结果是一致的。  由此，可以得到H(t)的原函数。是反正切换函数，加上常量C。

  下面为了求取最终的积分值，需要确定常量C的数值。  这里根据H(t)的边界条件进行求解。  令t趋向于正无穷，可以知道H(t)的积分值等于0。  那么由此，分析H(t)表达式。  反正切在正无穷处取值为二分之一π。  由此可以得到C的取值为二分之一π。 这是H(t)的最终表达式。  取t等于0，H(0)便是Sinc函数半边的积分数值。  H(0)等于二分之一π。  由此可以得到Sinc函数的积分值，  Sinc函数的面积等于π。

  在求解H’(t)的积分时，除了分部积分，还可以利用欧拉公式将sin(x)替换成复指数的形式。 利用复指数形式完成定积分更加方便。

三、复变函数围线积分

四、傅里叶变换

※ 总  结 ※

  本文讨论了Sinc函数的定积分求取的三种方法， 可以看到利用傅里叶变换的结果求解最为容易。