反演变换

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

高中数学竞赛用过这种东西，但是大学一年没碰全忘了 …. emmmm…. 最近感觉大家都在用圆的反演变换 出 计算几何的 题 ，那就 …. 再学一遍吧

反演变换基本概念

1. 定义 ： 对于平面上的一点 O 和一个非零常数 k ，使得平面上任何一个异于 O 点的 A 与 A’ 存在以下关系 ：
   
   1. A O A‘三点共线；
   2. OA * OA’ ＝ k
      ，则这个变换称为平面的一个反演变换，记做I(O,k)．其中，定点O称为 反演中心，常数k称为反演幂，点’ A称为点A的反点．
      

   
   

2. 若在这种变换下 一个图形 F 变成了图形 F’，则成两个图形互为反形，若反演之后点的位置不发生变化，则称这个点为自反点，如果图形也不发生变换的话则称这个图形为自反图形。
3. 设两条曲线u，v、相交于点A，l、m分别是曲线u，v、在点A处的切线（如果存在），则l与m的交角称为曲线u，v、在点A处的交角；如果两切线重合，则曲线u，v、在点A处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90 时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90 时，称为直线与圆正交

反演的性质 ：

1. 定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．
2. 定理2. 在反演变换I(0,k)下，设AB、两点（均不同于反演中心O）的反点分别为 A’B’ 则有’A’B’ = | k| * |AB| / (OA * OB )
3. ． 定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变
4. ． 定理4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．

性质的证明用到的都是基本的三角形相似和最基础的四点共圆 如果想证的快的话，最好知道一些圆幂定理。

反演一般来说经常用在圆中，因为可以把圆的关系转化到直线的关系上去做，多个圆的时候更能体现出这种优势。