线性代数(二)：向量组的秩

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向量组的秩

定义2.1：考虑$m$个$n$维列向量${\alpha }_i\in R^n(i=1,2,\dots ,m)$构成的向量组 T = { α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ } \bold T=\{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},…,\vec{\alpha_m}\} T={
α1​
​,α2​
​,…,αm​
​},将其极大线性无关组所包含的列向量个数$k$称作该向量组的秩，记作$r(\mathbf{T})=k$。类似的，同样可以定义行向量组的秩。

定义2.2：若向量组$\mathbf{T}$的子集 { α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α k ⃗ } \{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},…,\vec{\alpha_k}\} {
α1​
​,α2​
​,…,αk​
​}满足：
（1）$\overrightarrow{{\alpha }_1},\overrightarrow{{\alpha }_2},\dots ,\overrightarrow{{\alpha }_k}$线性无关；
（2）$\mathbf{T}$中任何向量均可由$\overrightarrow{{\alpha }_1},\overrightarrow{{\alpha }_2},\dots ,\overrightarrow{{\alpha }_k}$进行线性表示。
则将 { α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α k ⃗ } \{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},…,\vec{\alpha_k}\} {
α1​
​,α2​
​,…,αk​
​}称作$\mathbf{T}$的一个极大线性无关组


。

定义2.3：若两向量组可互相线性表示则称二者等价。

向量组的极大线性无关组是与原向量组等价的线性无关组。

Remark：一个向量组的极大线性无关组可能不是唯一的，但这些不同的极大线性无关组包含的向量个数是相同的，即向量组的秩是一个确定的数值。关于该点的说明需要应用到定理2.1

定理2.1：对于$R^n$中的两个行/列向量组 T 1 = { α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α p ⃗ } \bold {T_1}=\{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},…,\vec{\alpha_p}\} T1​={
α1​
​,α2​
​,…,αp​
​}、 T 2 = { β 1 ⃗ , β 2 ⃗ , \bold {T_2}=\{\vec{\beta_1},\vec{\beta_2}, T2​={
β1​
​,β2​
​,$\dots ,\overrightarrow{{\beta }_q}\}$，若${\mathbf{T}}_1$可由${\mathbf{T}}_2$线性表示且$p>q$，则${\mathbf{T}}_1$向量组线性相关。

Remark：可由同维的向量数目更少的向量组${\mathbf{T}}_2$进行线性表示的向量组${\mathbf{T}}_1$是线性相关的。

通过定理2.1即可得到如下推论:
推论2.1：若行/列向量组${\mathbf{T}}_1$(含$p$个向量)可由向量组${\mathbf{T}}_2$(含$q$个向量)线性得到,且${\mathbf{T}}_1$线性无关,则$p\le q$.(定理2.1的逆否命题)
推论2.2：两等价的线性无关行/列向量组秩相等.

证明: \quad 假设${\mathbf{T}}_1$含$p$个向量,${\mathbf{T}}_2$含$q$个向量
\uad \quad 线性无关的${\mathbf{T}}_1$可由${\mathbf{T}}_2$线性表示$⟹p\le q$
\uad \quad 线性无关的${\mathbf{T}}_2$可由${\mathbf{T}}_1$线性表示$⟹q\le p$
\uad \quad 综上,$p=q$,即${\mathbf{T}}_1$,${\mathbf{T}}_2$秩相等.（证毕）

由等价的传递性及推论2.2可知一个向量组的秩为一个特定值.现对定理2.1进行证明:

证明: \quad ${\mathbf{T}}_1$可由${\mathbf{T}}_2$线性表示$⟺{\mathbf{T}}_1={\mathbf{T}}_2{\mathbf{K}}_{\mathbf{q}\times \mathbf{p}}$
\uad \quad ${\mathbf{T}}_1$线性相关$⟹\exists \vec{x}\ne 0,s.t.{\mathbf{T}}_1\vec{x}={\mathbf{T}}_2\mathbf{K}\vec{x}=0(\vec{x}\in R^p)$
\uad \quad 若能找到使$\mathbf{K}\vec{x}=0$成立的非零向量$\vec{x}$,显然${\mathbf{T}}_1$线性相关得证.
\uad \quad 为方便观察得到满足要求的$\vec{x}$,可对$\mathbf{K}$进行初等行变换,即:
\uad \quad \uad \quad \uad \quad $\mathbf{PK}=\mathbf{U}⟹\mathbf{U}\vec{x}=0$
\uad \quad 其中,$\mathbf{P}$为可逆矩阵,$\mathbf{U}$为$\mathbf{K}$的行标准型,且$\mathbf{U}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{U}}_1\\ 0\end{array}\right]$.
\uad \quad 若$r(\mathbf{K})=l\le q<p$,则${\mathbf{U}}_1$为含$l$个$l$维单位列向量的$l\times p$维矩阵.
\uad \quad 不妨取 U 1 = { e 1 ⃗ , e 2 ⃗ , . . . , e l ⃗ , α ⃗ l + 1 , α ⃗ l + 2 , . . . , , α ⃗ p } \bold {U_1}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},…,\vec{e_l},\vec{\alpha}_{l+1},\vec{\alpha}_{l+2},…,,\vec{\alpha}_{p}\} U1​={
e1​
​,e2​
​,…,el​
​,α
l+1​,α
l+2​,…,,α
p​}
\uad \quad \uad \quad \uad \quad $\mathbf{U}\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{U}}_1\vec{x}\\ 0\end{array}\right]=0⟹{\mathbf{U}}_1\vec{x}=0$
\uad \quad (1)若${\vec{\alpha }}_{l+2},\dots ,,{\vec{\alpha }}_p$中含零向量(比如${\vec{\alpha }}_j$),则取$\vec{x}=[\underset{l}{0,\dots ,0},0,\dots$
\uad \quad , $\underset{j}{r},\dots ,\underset{p}{0}],r$为任意非零实数,即可满足非零的要求;
\uad \quad (2)若${\vec{\alpha }}_{l+2},\dots ,,{\vec{\alpha }}_p$中不含零向量,设${\vec{\alpha }}_j=[d_{1j},d_{2j},\dots ,d_{lj}{]}^T$,此时,
\uad \quad 不妨取$\vec{x}=[\underset{l}{d_{1j},d_{2j},\dots ,d_{lj}},0,\dots ,0,\underset{j}{-1},0,\dots ,\underset{p}{0}]$即可满足要求.
\uad \quad 综上,总可以找到非零的$\vec{x}$使得${\mathbf{T}}_1\vec{x}=0$成立,即${\mathbf{T}}_1$线性相关.此外该
\uad \quad 定理对于行向量组显然也同样成立.（证毕）

Remark：类似的，当$p\le q$且$r(\mathbf{K})=l<p$ 时同样可找到非零的$\vec{x}$使得${\mathbf{T}}_1\vec{x}=0$成立，但 $l=p$ 时却无法找到非零的$\vec{x}$，只有在$q<p$ 时才恒有$r(\mathbf{K})=l<p$。

定理2.2：
(1) 对列(行)向量组进行初等列(行)变换不影响列(行)向量组的秩，但变换后的列(行)向量组线性组合系数并不同于原列(行)向量组；
(2) 对列(行)向量组进行初等行(列)变换不改变列(行)向量组的秩与线性组合系数。

证明：(1)设列向量组 T 1 : { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ p } \bold{T_1}:\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_p\} T1​:{
α
1​,α
2​,…,α
p​}线性相关，则存在不全为零的$x_i(i=1,2,\dots ,p)$使得
\uad\uad \uad \uad \quad $x_1{\vec{\alpha }}_1+x_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +x_p{\vec{\alpha }}_p=0$
    \uad\ \ \ \quad    设经过一次初等列变换，向量组变为 T 2 ： { β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , … , β ⃗ p } \bold{T_2}：\{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\dots,\vec{\beta}_p\} T2​：{
β
​1​,β
​2​,…,β
​p​}.
    \uad\ \ \ \quad    a. 若采用交换任意两列向量的次序，则：
\uad \uad \quad { β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , … , β ⃗ i , … , β ⃗ j , … , β ⃗ p } = { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ j , … , α ⃗ i , … , α ⃗ p } \{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\dots,\vec{\beta}_i,\dots,\vec{\beta}_j,\dots,\vec{\beta}_p\}=\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_j,\dots,\vec{\alpha}_i,\dots,\vec{\alpha}_p\} {
β
​1​,β
​2​,…,β
​i​,…,β
​j​,…,β
​p​}={
α
1​,α
2​,…,α
j​,…,α
i​,…,α
p​}
    \uad\ \ \ \quad    此时，有
\uad \uad \quad $x_1{\vec{\beta }}_1+\cdots +x_{i-1}{\vec{\beta }}_{i-1}+x_j{\vec{\beta }}_i+x_{i+1}{\vec{\beta }}_{i+1}+\cdots +x_i{\vec{\beta }}_j+\cdots +x_p{\vec{\beta }}_p=0$
    \uad\ \ \ \quad    b. 若采用非零数$k$乘任意列向量，则：
\uad \uad \quad { β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , … , β ⃗ i , … , β ⃗ p } = { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , k α ⃗ i , … , α ⃗ p } \{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\dots,\vec{\beta}_i,\dots,\vec{\beta}_p\}=\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,k\vec{\alpha}_i,\dots,\vec{\alpha}_p\} {
β
​1​,β
​2​,…,β
​i​,…,β
​p​}={
α
1​,α
2​,…,kα
i​,…,α
p​}
    \uad\ \ \ \quad    此时，有
\uad \uad \quad $x_1{\vec{\beta }}_1+\cdots +x_{i-1}{\vec{\beta }}_{i-1}+\frac{x_i}{k}{\vec{\beta }}_i+x_{i+1}{\vec{\beta }}_{i+1}+\cdots +x_p{\vec{\beta }}_p=0$
    \uad\ \ \ \quad    c. 若采用某列向量的倍数加至另一列向量，则：
\uad \uad \quad { β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , … , β ⃗ i , … , β ⃗ j , … , β ⃗ p } = { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ i , … , α ⃗ j + k α ⃗ i , … , α ⃗ p } \{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\dots,\vec{\beta}_i,\dots,\vec{\beta}_j,\dots,\vec{\beta}_p\}=\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_i,\dots,\vec{\alpha}_j+k\vec{\alpha}_i,\dots,\vec{\alpha}_p\} {
β
​1​,β
​2​,…,β
​i​,…,β
​j​,…,β
​p​}={
α
1​,α
2​,…,α
i​,…,α
j​+kα
i​,…,α
p​}
    \uad\ \ \ \quad    此时，有
\uad \uad \quad $x_1{\vec{\beta }}_1+\cdots +x_{i-1}{\vec{\beta }}_{i-1}+(x_i-k{x}_j){\vec{\beta }}_i+\cdots +x_j{\vec{\beta }}_j+\cdots +x_p{\vec{\beta }}_p=0$
    \uad\ \ \ \quad    且新的组合系数同样不会同时为零，那么${\mathbf{T}}_2$线性相关。
    \uad\ \ \ \quad    反过来，若${\mathbf{T}}_2$线性相关也能得到${\mathbf{T}}_1$线性相关，即
\uad \uad \quad ${\mathbf{T}}_1$线性相关$⟺$${\mathbf{T}}_2$线性相关
    \uad\ \ \ \quad    则，对列向量组进行初等列变换不影响列向量组的线性相关性，不过显然组合系数有所改变

  \ \uad  (2) 设列向量组构成的矩阵${\mathbf{T}}_1=[{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\dots ,{\vec{\alpha }}_p]$经过初等行变换为${\mathbf{T}}_2=[{\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,\dots ,\overrightarrow{{\beta }_p}]$.
    \uad\ \ \ \quad    则，${\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{T}}_1={\mathbf{T}}_2$，其中 $\mathbf{R}$ 为可逆矩阵,$n$为方阵$\mathbf{R}$的阶数 。
    \uad\ \ \ \quad    从而有：$\mathbf{R}\overrightarrow{{\alpha }_i}=\overrightarrow{{\beta }_i}i=1,2,\dots ,p$
    \uad\ \ \ \quad    $a.$若${\mathbf{T}}_1$线性相关，则存在不全为零的组合系数$k_i$使得$k_i\overrightarrow{{\alpha }_i}=0$（爱因斯坦求和约定）
    \uad\ \ \ \quad \quad    $⟹$$k_i\mathbf{R}\overrightarrow{{\alpha }_i}=k_i\overrightarrow{{\beta }_i}=0$
    \uad\ \ \ \quad    $b.$若${\mathbf{T}}_2$线性相关，则存在不全为零的组合系数$s_i$使得$s_i\overrightarrow{{\beta }_i}=0$（爱因斯坦求和约定）
    \uad\ \ \ \quad \quad    $⟹$$s_i{\mathbf{R}}^{-1}\overrightarrow{{\beta }_i}=s_i\overrightarrow{{\alpha }_i}=0$
    \uad\ \ \ \quad    则，${\mathbf{T}}_1$线性相关$⟺$${\mathbf{T}}_2$线性相关。
    \uad\ \ \ \quad    即，对列向量组进行初等行变换不影响列向量组的线性相关性，且二者线性组合系数相同。

    \uad\ \ \ \quad    行向量组$T_1$构成的矩阵进行转置即得到对应的列向量组$T_2$,则$T_1$,$T_2$线性组合关系相同，且
    \uad\ \ \ \quad    对应系数相等。
    \uad\ \ \ \quad    (1)对$T_2$进行初等列变换相当于对$T_1$进行初等行变换得到$T_3$，则$T_2,T_3$线性关系相同但组合
   \uad\ \ \quad \quad    系数不同。
    \uad\ \ \ \quad    (2)对$T_2$进行初等行变换相当于对$T_1$进行初等列变换得到$T_3$，则$T_2,T_3$线性关系相同且组合
   \uad\ \ \quad \quad    系数相同。

定理2.3:矩阵${\mathbf{A}}_{m\times n}$的秩等于矩阵$\mathbf{A}$的列（行）向量组的秩。
证明：设$r(\mathbf{A})=r$,利用初等行变换，将矩阵$\mathbf{A}$化为行标准型：
   \quad \ \ \quad   $\mathbf{A}=[{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\dots ,{\vec{\alpha }}_n]⟼\mathbf{B}=[{\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,\dots ,\overrightarrow{{\beta }_n}]$
   \quad \ \ \quad   则 r ( B ) = r ( A ) = r < m i n { m , n } r(\bold B)=r(\bold A)=r<min\{m,n\} r(B)=r(A)=r<min{
m,n}；$\mathbf{B}$中包含$r$个$m$维单位向量，且各${\vec{\beta }}_i$至多只有前$r$个分
   \quad \ \ \quad   量不为零。
   \quad \ \ \quad   故， { e 1 , e 2 , … , e r } ( e i 仅前 r 个分量不为零 ) \{e_1,e_2,\dots,e_r\}(e_i仅前r个分量不为零) {
e1​,e2​,…,er​}(ei​仅前r个分量不为零)为矩阵$\mathbf{B}$列向量的极大线性无关组。
   \quad \ \ \quad   那么， r ( { β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , … , β n ⃗ } ) = r = r ( B ) r(\{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\dots,\vec{\beta_n}\})=r=r(\bold B) r({
β
​1​,β
​2​,…,βn​
​})=r=r(B)
   \quad \ \ \quad   由于，矩阵秩与列向量组的秩均不受初等行变换的影响，
   \quad \ \ \quad   故， r ( { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ n } ) = r ( A ) r(\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_n\})=r(\bold A) r({
α
1​,α
2​,…,α
n​})=r(A)
   \quad \ \ \quad   由于$r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})$,则对${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$的重复上述证明即可得知：行向量组的秩等于矩阵的秩。

推论2.3：$n$阶方阵可逆$⟺r(\mathbf{A})=n$$⟺$行（列）向量组线性无关$⟺det(\mathbf{A})\ne 0$

定理2.4：若向量组的秩为$r$则向量组中任意$r$个线性无关的向量构成向量组的极大线性无关组。

证明：(反证法)，若$r$个线性无关的向量不构成向量组的极大线性无关组
   \quad \ \ \quad   则向量组中应至少存在某个向量不能由其它向量线性组合而成
   \quad \ \ \quad   可得到$r+1$个线性无关向量构成的向量组，
   \quad \ \ \quad   说明向量组的秩应大于等于$r+1$，与秩等于$r$相违背。

定理2.5：设向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​}线性无关，但 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m , β } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m,\beta\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​,β}线性相关，则$\beta$可由向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​}唯一地进行线性表示。
证明：由于 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m , β } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m,\beta\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​,β}线性相关，则
   \quad \ \ \quad   $\exists$不全为零的$x_1,x_2,\dots ,x_m,x$，使得$x_1{\vec{\alpha }}_1+x_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\vec{\alpha }}_m+x\vec{\beta }=0$
   \quad \ \ \quad   且由于向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​}线性无关，则$x\ne 0$。
   \quad \ \ \quad   那么，$\vec{\beta }=\frac{x_1}{x}{\vec{\alpha }}_1+\frac{x_2}{x}{\vec{\alpha }}_2+\cdots +\frac{x_m}{x}{\vec{\alpha }}_m$,故$\beta$可由向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​}线性表示。
   \quad \ \ \quad   下面证明线性组合系数的唯一性：
   \quad \ \ \quad   若 $\vec{\beta }=s_1{\vec{\alpha }}_1+s_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +s_m{\vec{\alpha }}_m(1)$
   \quad \ \ \quad   且 $\vec{\beta }=t_1{\vec{\alpha }}_1+t_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +t_m{\vec{\alpha }}_m(2)$
   \quad \ \ \quad   $(1)-(2)$得：$(s_1-t_1){\vec{\alpha }}_1+(s_2-t_2){\vec{\alpha }}_2+\cdots +(s_m-t_m){\vec{\alpha }}_m=0$
   \quad \ \ \quad   由于 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ m } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_m\} {
α
1​,α
2​,…,α
m​}线性无关，则$s_i-t_i=0(i=1,\dots ,m)$
   \quad \ \ \quad   故，组合系数唯一。

定义2.3：向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ r } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_r\} {
α
1​,α
2​,…,α
r​}中的向量两两正交则称该向量组为 正交向量组，若各向量两两正交且均为单位向量则称该向量组为 标准正交向量组(规范正交向量组)（链接: 正交-定义3.6）

定理2.6：不包含零向量的正交向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ r } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_r\} {
α
1​,α
2​,…,α
r​}线性无关。
证明：做线性组合$k_1{\vec{\alpha }}_1+k_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +k_r{\vec{\alpha }}_r=0$
   \quad \ \ \quad   由正交性$({\vec{\alpha }}_i,{\vec{\alpha }}_j)=0,i\ne j$且${\vec{\alpha }}_i\ne 0$得，$k_i({\vec{\alpha }}_i,{\vec{\alpha }}_i)=0;({\vec{\alpha }}_i,{\vec{\alpha }}_i)\ne 0$
   \quad \ \ \quad   则组合系数$k_i=0$,故不含零向量的正交向量组线性无关。（证毕）

Remark：不含零向量的$n$维正交组至多含有$n$个向量。

定理2.7：若$r<n$，则对不包含零向量的正交向量组 { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ r } \{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_r\} {
α
1​,α
2​,…,α
r​}必存在非零向量$\vec{X}$与该向量组正交。
证明：问题转变为说明方程$\left[\begin{array}{c}{\vec{\alpha }}_1^T\\ {\vec{\alpha }}_2^T\\ ⋮\\ {\vec{\alpha }}_r^T\end{array}\right]\vec{X}={\alpha }_{r\times n}\vec{X}=0$非平凡解的存在性，又
   \quad \ \ \quad    r ( { α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , … , α ⃗ r } ) = r = r ( α r × n ) < n r(\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\dots,\vec{\alpha}_r\})=r=r(\alpha_{r\times n})<n r({
α
1​,α
2​,…,α
r​})=r=r(αr×n​)<n，则${\alpha }_{r\times n}$对应的列向量组线性相关.

   \quad \ \ \quad   则${\alpha }_{r\times n}\vec{X}=[{\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,\dots ,{\vec{\beta }}_n]\vec{X}=0$存在不全为零的组合系数。
   \quad \ \ \quad   换而言之，存在非平凡解或非零向量$\vec{X}$。（证毕）

定理2.8：(格拉姆-施密特<$Gram$–$Schmidt$>正交化方法）
  \uad \ \quad  采用如下公式可由 $m$个线性无关的$n$维向量构成的向量组 得到 $m$个两两正交的向量构成的正交向量组 :
$$\{\begin{array}{l}{\vec{\beta }}_1={\vec{\alpha }}_1\\ {\vec{\beta }}_2={\vec{\alpha }}_2-\frac{({\vec{\alpha }}_2,{\vec{\beta }}_1)}{({\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_1)}{\vec{\beta }}_1\\ \dots \\ {\vec{\beta }}_m={\vec{\alpha }}_m-{\sum }_{i=1}^{k-1}\frac{({\alpha }_m,{\vec{\beta }}_i)}{({\vec{\beta }}_i,{\vec{\beta }}_i)}{\vec{\beta }}_i\end{array}$$

Remark： 实际上，
$$[{\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,\dots ,{\vec{\beta }}_m]=[{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\dots ,{\vec{\alpha }}_m]\left[\begin{array}{c}1c_{2,1}{c}_{3,1}\dots c_{m,1}\\ 01c_{3,2}\dots c_{m,2}\\ 001\dots c_{m,3}\\ \dots \\ 000\dots 1\end{array}\right],通过正交性确定系数c_{i,j}(j<i)$$
\uad \uad 显然正交向量组与原向量组等价。

定理2.9：若${\mathbf{A}}_m$为正交矩阵，即$A^{T}A=A{A}^T=E$ 或 $A^T=A^{-1}$，则$\mathbf{A}$的行(列)向量组为标准正交向量组。
证明：设$A=[{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\dots ,{\vec{\alpha }}_m]$，则
  \uad \ \quad  $A^{T}A=\left[\begin{array}{c}{\vec{\alpha }}_1^T\\ {\vec{\alpha }}_2^T\\ ⋮\\ {\vec{\alpha }}_m^T\end{array}\right][{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\dots ,{\vec{\alpha }}_m]=\left[\begin{array}{c}{\vec{\alpha }}_1^T{\vec{\alpha }}_1{\vec{\alpha }}_1^T{\vec{\alpha }}_2\dots {\vec{\alpha }}_1^T{\vec{\alpha }}_m\\ {\vec{\alpha }}_2^T{\vec{\alpha }}_1{\vec{\alpha }}_2^T{\vec{\alpha }}_2\dots {\vec{\alpha }}_2^T{\vec{\alpha }}_m\\ ⋮\\ {\vec{\alpha }}_m^T{\vec{\alpha }}_1{\vec{\alpha }}_m^T{\vec{\alpha }}_2\dots {\vec{\alpha }}_m^T{\vec{\alpha }}_m\end{array}\right]=E$
  \uad \ \quad  即 $({\vec{\alpha }}_i,{\vec{\alpha }}_j)=\{\begin{array}{l}0(i\ne j)\\ 1(i=j)\end{array}$
  \uad \ \quad  故正交矩阵的列向量构成正交向量组。
  \uad \ \quad  设$A=\left[\begin{array}{c}{\vec{\beta }}_1\\ {\vec{\beta }}_2\\ ⋮\\ {\vec{\beta }}_m\end{array}\right]$，则
  \uad \ \quad  $A{A}^T=\left[\begin{array}{c}{\vec{\beta }}_1\\ {\vec{\beta }}_2\\ ⋮\\ {\vec{\beta }}_m\end{array}\right][{\vec{\beta }}_1^T,{\vec{\beta }}_2^T,\dots ,{\vec{\beta }}_m^T]=\left[\begin{array}{c}{\vec{\beta }}_1{\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_1{\vec{\beta }}_2^T\dots {\vec{\beta }}_1{\vec{\beta }}_m^T\\ {\vec{\beta }}_2{\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_2{\vec{\beta }}_2^T\dots {\vec{\beta }}_2{\vec{\beta }}_m^T\\ ⋮\\ {\vec{\beta }}_m{\vec{\beta }}_1^T{\vec{\beta }}_m{\vec{\beta }}_2^T\dots {\vec{\beta }}_m{\vec{\beta }}_m^T\end{array}\right]=E$
  \uad \ \quad  即 $({\vec{\beta }}_i,{\vec{\beta }}_j)=\{\begin{array}{l}0(i\ne j)\\ 1(i=j)\end{array}$
  \uad \ \quad  故正交矩阵的行向量构成正交向量组。