数学建模暑期集训14：博弈论与纳什均衡

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前言

博弈论的内容在数学建模中比较少见，但2020年国赛B题确实考到了这一部分，因此掌握一些基本的原理方法还是有所必要。并且，博弈论本身和模糊综合评价类型比较类似，都是难度不高，不太依赖编程的方法，掌握一下性价比很高。

1.博弈概述

1.1博弈的定义：

博弈是指在一定的游戏规则约束下，基于直接相互作用的环境条件，各参与人依据所掌握的信息，选择各自的策略 (行动)，以实现利益最大化的过程。

1.2博弈的分类：

下面主要记录的内容是非合作博弈中的静态博弈。

2.囚徒困境

在这种情形下，如何分析张三和李四的决策？

3.纳什均衡

3.1纳什均衡的定义

纳什均衡指的是：在博弈中，若每个参与者在已知其他参与者的策略的情况下，采用最优策略来应对，那么就达到了一个纳什均衡，或者找到了一个纳什均衡解。同时也意味着没有人能通过改变自己的策略，获得更好的结果。

简单来说，就是在纳什均衡的情况下，已经找到最优解，再改变策略，结果会更差。

3.2小鸡游戏引例

如何理解“再改变策略，结果会更差”？
以左下角纳什均衡解为例：
1)甲不变（纵向不动），乙改变，从5变到4，效果变差。
2)乙不变（横向不动），甲改变，从1变到0，效果变差。

3.3纯策略纳什均衡

一句话理解：纯策略即单一策略，比如只能选“鸡”或“鹰”。

3.4混合策略纳什均衡

3.5求解小鸡问题的混合策略纳什均衡

4.真题实战：2020年国赛B题：穿越沙漠

题目：