阿基米德分牛问题及其Python求解

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题目大意

问 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，其间关系如下，求每种牛的个数。

• 公牛中，白牛多于棕牛，二者之差为黑牛的$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$；黑牛多于棕牛，二者之差为花牛的$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$；花牛多于棕牛，二者之差为白牛数的$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$
• 母牛中，白牛是全体黑牛的$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$；黑牛是全体花牛的$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$；花牛是全体棕牛的$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$；棕牛是全体白牛的$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$

如果用字母$x_0,x_1,x_2,x_3$分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数；用$y_0,y_1,y_2,y_3$分别表示白、黑、花、棕各色母牛数，则得8 个未知数的如下7 个方程

$$\begin{array}{r}{x}_0-x_3=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})x_1\\ x_1-x_3=(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})x_2\\ x_2-x_3=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})x_0\\ y_0=(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})(x_1+y_1)\\ y_1=(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})(x_2+y_2)\\ y_2=(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})(x_3+y_3)\\ y_3=(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})(x_0+y_0)\end{array}$$

这个题其实是毫无难度的，但非要用Python，那么难点主要如何优雅地表达这个过程，这里选用的是sympy符号计算。

所以第一步，先给定一些符号

import sympy x0,x1,x2,x3 = sympy.symbols("x0,x1,x2,x3") y0,y1,y2,y3 = sympy.symbols("y0,y1,y2,y3") x = [x0,x1,x2,x3] y = [y0,y1,y2,y3] 

sympy求解

然后将阿基米德分牛问题转化为Python代码，其优雅之处在于，这些分数的构建遵循自然数递增的规律，故可通过循环来生成，非常便捷。

frac = lambda x : sympy.Rational(1,x) fs = [] for i in range(3): fs.append(x[i]-x[3]-(frac(2*i+2)+frac(2*i+3))*x[i+1]) for i in range(4): ind = (i + 1) % 4 fs.append(y[i]-(frac(i+3)+frac(i+4))*(x[ind]+y[ind])) 

这样就得到了待求方程组

>>> for f in fs: print(f) ... x0 - 5*x1/6 - x3 x1 - 9*x2/20 - x3 x2 - 55*x3/42 -7*x1/12 + y0 - 7*y1/12 -9*x2/20 + y1 - 9*y2/20 -11*x3/30 + y2 - 11*y3/30 -13*x0/42 - 13*y0/42 + y3 

但是，8个未知数7个方程，显然没有唯一解，考虑到$x_3$貌似是最小的值，所以最后希望用$x_3$来表示其他数。

res = sympy.solve(fs, x[:3]+y) 

结果

查看一下结果

for key in res: print(sympy.latex(key), "&=", sympy.latex(res[key]), r"\\") 

$$\begin{array}{rlrlrlrl}{x}_0& =\frac{781x_3}{336}& x_1& =\frac{89x_3}{56}& x_2& =\frac{55x_3}{42}& & \\ y_0& =\frac{x_3}{}& y_1& =\frac{x_3}{}& y_2& =\frac{x_3}{}& y_3& =\frac{x_3}{}\end{array}$$

这道题到这里基本上就算解完了，但是牛至少得是个整数，所以接下来要做的是求解分母的最小公倍数。

在sympy中，对于一个分数r，r.p为分子，r.q为分母；【lcm】用于求解最小公倍数。

denominators = [(v/x3).q for v in res.values()] x3Res = sympy.lcm(denominators) #  

然后让将x3的值加入fs，

fs.append(x3-x3Res) res2 = sympy.solve(fs, x+y) for key in res2: print(sympy.latex(key), "=", res2[key], r"\\") 

结果如下

$$\begin{gathered} x_0= \\ {x}_1= \\ {x}_2= \\ {x}_3= \\ {y}_0= \\ {y}_1= \\ {y}_2= \\ {y}_3= \end{gathered}$$