图形几何学——圆形：圆弧与曲率

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基于三个离散点求外接圆半径和曲率

方法1

方法2

近似认为$|\overrightarrow{P_1}|=|\overrightarrow{P_2{P}_3}|=ds$相等，求向量$\overrightarrow{P_2{P}_1}$和向量$\overrightarrow{P_2{P}_3}$的向量和，记向量和的端点为$A$。易知四边形$D{P}_1{P}_2{P}_3$为菱形，$\Delta O{P}_1{P}_2$和$\Delta O{P}_2{P}_3$为等腰三角形，所以$\Delta O{P}_1{P}_2$和$\Delta P_1{P}_{2}D$相似，另外两个三角形同理，所以他们有以下关系
$$\frac{l}{ds}=\frac{ds}{R}$$
根据这个关系式可得
$$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{l}{d{s}^2}$$
其中$l=|\overrightarrow{P_2{P}_1}+\overrightarrow{P_2{P}_3}|$

根据密切圆概念求轨迹的曲率

参考相关文献¹

• 曲率圆（密切圆）的定义
  如果我们要计算某一处的曲率，就在它的左右各取一个点，并用这三点确定一个圆。然后将左右两个点不断向中间靠拢，最终得到的圆，就是曲率圆。曲率圆就是对这个点附近曲线的最佳圆逼近。
  
• 曲率圆的特点
  • 曲线较为平坦的地方，曲率圆半径较大，较为弯曲的地方，曲率圆半径较小
• 根据曲率圆求曲率的过程
  假设一段曲线上取三个点，假设中间的点为$x_0$，左右两个点分别为$x_0-\delta$和$x_0+\delta$，由它们确定的圆的半径用$R$表示。
  

这个半径可以根据外接圆半径得到，$S_{\Delta ABC}$为这个三角形的面积，a,b,c为三个点构成三角形的三条边的边长，即三个向量的模，写作
$$\begin{array}{rl}R& =\frac{abc}{4S_{\Delta ABC}}\\ & =\frac{||a||\cdot ||b||\cdot ||c||}{4S_{\Delta ABC}}\end{array}$$

让左右两边的点向中间靠，当$\delta \to 0$时，即可得到曲率圆的半径，写作
$$\begin{array}{rl}\underset{\delta \to 0}{\lim }R& =\frac{\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0-\delta )}{\delta }{]}^2+4}\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0)}{\delta }{]}^2+1}\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0-\delta )}{\delta }{]}^2+1}}{2\left|\frac{f(x_0+\delta )+f(x_0-\delta )-2f(x_0)}{{\delta }^2}\right|}\\ & =\frac{\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0-\delta )}{\delta }{]}^2+4}\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0)}{\delta }{]}^2+1}\sqrt{[\frac{f(x_0+\delta )-f(x_0-\delta )}{\delta }{]}^2+1}}{2\left|\frac{f(x_0+\delta )+f(x_0-\delta )-2f(x_0)}{{\delta }^2}\right|}\end{array}$$
综上，求路径半径及其曲率的公式为
$$R=\underset{\delta \to 0}{\lim }R=\frac{\{1+[f^{\prime }(x_0){]}^2{\}}^{\frac{3}{2}}}{|f^{\prime \prime }(x_0)|}$$
$$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{|f^{\prime \prime }(x_0)|}{\{1+[f^{\prime }(x_0){]}^2{\}}^{\frac{3}{2}}}$$