模态反馈控制

模态反馈控制简单介绍了模态反馈控制的基本原理 控制经验模态

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1. 模态的概念

模态是系统中的某个子运动(相对于整体运动而言),系统整体的动态特性是由一个个子运动所组成的(可以类比于空间中的向量基的概念)。

显然,对于某个系统,其运动由特征方程的极点来决定,而不同的极点(如 s i = λ i s_i = \lambda _i si=λi)则在时域中对应着 C i e λ i t C_i e^{\lambda _i t} Cieλit的运动分量。因此,在时域中,模态可以简单理解为极点 λ i \lambda_i λi所对应的运动模态 e λ i t e^{\lambda _i t} eλit

2. 模态反馈控制的思想及控制量 u u u设计

模态控制的思想可以用一句话表述:通过设计反馈回路中的增益矩阵 K K K,使得系统具有期望的模态分布(即具有期望的极点分布)。与补偿的思想类似——补偿是通过向系统中添加零极点,实现数学上的传递函数零极点相消的操作,进而使得系统具有期望的零极点。

u = − K y (2) u=-Ky \tag{2} u=Ky(2) x ˙ = A x + B u = A x + B ( − K y ) = A x − B K y = A X − B K ( C x ) = ( A − B K C ) x = A ~ x ⟶ A ~ = A − B K C (3) \begin{aligned} \dot x &= Ax + Bu = Ax + B \left( -Ky \right) = Ax – BKy = AX – BK \left( Cx \right) \\ &= \left( A – BKC \right) x = \tilde A x \longrightarrow \tilde A = A-BKC \tag{3} \end{aligned} x˙=Ax+Bu=Ax+B(Ky)=AxBKy=AXBK(Cx)=(ABKC)x=A~xA~=ABKC(3)通过式(2)这种手段,可以将表达式中的 u u u消去,得到仅含有状态量 x x x的式(3)。可以看出,式(2)是将系统输出 y y y经过一个增益 K K K后,作为输入 u u u直接负反馈到了输入端,这就是模态反馈控制中“反馈”的含义。

当输出即为状态量,也就是 y = x y=x y=x时, C = I C = I C=I,
u = − K x , A ~ = A − B K x ˙ = A ~ x = ( A − B K ) x (4) u = – K x, \\ \tilde A = A – BK \\ \dot x = \tilde A x = \left( A – BK \right) x \tag{4} u=Kx,A~=ABKx˙=A~x=(ABK)x(4)
对于原方程(1),可以写出其特征方程
Δ ( s ) = det ⁡ ( s I − A ) \Delta (s) = \det \left( sI – A \right) Δ(s)=det(sIA)那么同样,对于加入了反馈控制 u = − K x u=-Kx u=Kx的系统(4),其特征方程为
Δ ( s ) = det ⁡ ( s I − A ~ ) = det ⁡ ( s I − A + B K ) \Delta (s) = \det \left( sI – \tilde A \right) = \det \left( sI – A + BK \right) Δ(s)=det(sIA~)=det(sIA+BK)若对于该系统有期望的极点 λ i ∗ \lambda_i^* λi,则该系统期望的特征方程为
Δ ∗ ( s ) = ∏ i = 1 n ( s − λ i ∗ ) \Delta^* (s) = \prod _{i=1} ^n \left( s – \lambda_i^* \right) Δ(s)=i=1n(sλi)那么仅需使 Δ ( s ) = Δ ∗ ( s ) \Delta (s) = \Delta^* (s) Δ(s)=Δ(s),即
det ⁡ ( s I − A + B K ) = ∏ i = 1 n ( s − λ i ∗ ) (5) \det \left( sI – A + BK \right) = \prod _{i=1} ^n \left( s – \lambda_i^* \right) \tag{5} det(sIA+BK)=i=1n(sλi)(5)反解出 K K K,即可得到负反馈通路。而这种利用 u = − K x u=-Kx u=Kx进行控制的形式,称为模态反馈控制。





3. 模态反馈控制举例

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