模态反馈控制

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1. 模态的概念

模态是系统中的某个子运动（相对于整体运动而言），系统整体的动态特性是由一个个子运动所组成的（可以类比于空间中的向量基的概念）。

显然，对于某个系统，其运动由特征方程的极点来决定，而不同的极点（如$s_i={\lambda }_i$）则在时域中对应着$C_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$的运动分量。因此，在时域中，模态可以简单理解为极点${\lambda }_i$所对应的运动模态$e^{{\lambda }_{i}t}$。

2. 模态反馈控制的思想及控制量$u$设计

模态控制的思想可以用一句话表述：通过设计反馈回路中的增益矩阵$K$，使得系统具有期望的模态分布（即具有期望的极点分布）。与补偿的思想类似——补偿是通过向系统中添加零极点，实现数学上的传递函数零极点相消的操作，进而使得系统具有期望的零极点。

设$$u=-Ky\text{\hspace{1em}(2)}$$则$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu=Ax+B\left(-Ky\right)=Ax-BKy=AX-BK\left(Cx\right)\\ & =\left(A-BKC\right)x=\tilde{A}x⟶\tilde{A}=A-BKC\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$通过式(2)这种手段，可以将表达式中的$u$消去，得到仅含有状态量$x$的式(3)。可以看出，式(2)是将系统输出$y$经过一个增益$K$后，作为输入$u$直接负反馈到了输入端，这就是模态反馈控制中“反馈”的含义。

当输出即为状态量，也就是$y=x$时，$C=I$,
$$\begin{gathered} u=-Kx, \\ \tilde{A}=A-BK \\ \dot{x}=\tilde{A}x=\left(A-BK\right)x\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
对于原方程(1)，可以写出其特征方程
$$\Delta (s)=\det \left(sI-A\right)$$那么同样，对于加入了反馈控制$u=-Kx$的系统(4)，其特征方程为
$$\Delta (s)=\det \left(sI-\tilde{A}\right)=\det \left(sI-A+BK\right)$$若对于该系统有期望的极点${\lambda }_i^{\ast }$，则该系统期望的特征方程为
$${\Delta }^{\ast }(s)=\prod _{i=1}^n\left(s-{\lambda }_i^{\ast }\right)$$那么仅需使$\Delta (s)={\Delta }^{\ast }(s)$，即
$$\det \left(sI-A+BK\right)=\prod _{i=1}^n\left(s-{\lambda }_i^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(5)}$$反解出$K$，即可得到负反馈通路。而这种利用$u=-Kx$进行控制的形式，称为模态反馈控制。

3. 模态反馈控制举例