多元微积分（二）–方向导数与梯度

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多元微积分（二）–方向导数与梯度

  书接上回（多元微积分（一）–导数与偏导数）我们最后提出了一个问题：二维平面上那么多的方向，我们只研究了单纯沿$x$的方向和沿$y$的方向，那么其他方向呢？我们在这篇文章中就来探讨这个问题。
  我们在多元微积分（一）–导数与偏导数这篇文章中还提到了一个本菜鸡自创的公式：
$$导数=li{m}_{d(自变量)->0}\frac{d(因变量)}{d(自变量)}$$
具体含义我们其实在字面上可以理解的很清楚啦，$d(自变量)$是自变量的微小变化的大小；$d(因变量)$是由于自变量的微小变化，引起因变量的微小变化的大小，其实知道这些就够啦，如果实在不明白的话，可以去看多元微积分（一）–导数与偏导数哦~，里面有详细的解释。
  话不多说，我们直接开始。

如何表示其他方向的导数呢？

一、怎样描述方向

  我们探究其他方向的导数，我们首先要知道这个方向用什么表示吧，也就是说要怎么去描述这个方向，总不能一直说类似x轴正方向偏y轴正方向45°的导数之类的方向吧（狗头）。
  一个简单实用的方法是使用向量，例如我们我们对上面所说的方向，便可以使用向量$(2,2)$来进行描述.

  所以呢，我们以后就使用向量来代表方向啦。

二、方向导数

  什么是方向导数呢？突然拿出来这么一个名词，估计大家都有点儿懵了。我们在多元微积分（一）–导数与偏导数中讲到：沿着x方向的变化产生的导数称为x方向上的偏导数，沿着y方向的变化产生的导数称为y方向上的偏导数，那么沿着其余的方向的导数，例如沿着向量$(a,b)$方向上的导数称为$(a,b)$方向上的方向导数。
  那么，方向导数该怎么求呢？根据我们上面提到的公式：
$$导数=li{m}_{d(自变量)->0}\frac{d(因变量)}{d(自变量)}$$
求一个导数，我们最起码需要知道d(自变量)和d(因变量)，好啦，知道这个的话，最起码我们有一个大致方向啦！我们现在开始推导。

注意：我们以下的推导均假设方向为$(a,b)$，函数均假设为$z(x,y)$

2.1 d(自变量)

2.2 d(因变量)

  我们上面将$d(自变量)$也就是$dr$分解为$dx$和$dy$，这似乎给我们提供了求$d(因变量)$，也就是$dz$的一个思路：对x和y方向分别求出他们的自变量的变化，然后相加求和。
  我们在以前的微积分课程中学习过，假设有一个函数$f(x)$，它的导函数是$f^{\prime }(x)$那么我们在$x_0$附近有一个x的微小变化$dx$，那么函数值的变化为$f^{\prime }(x_0)d{x}_0$。我们现在也一样，我们要求出因为$dr$而产生的z的变化$dz$也要用类似的原理。
  好啦，我们开始，先求x方向的变化，根据我们上篇文章讲的偏导数原理，x方向变化dx，引起的函数值z的变化$dz$为：
$$d{z}_x=\frac{\partial z}{\partial x}\times dx$$
同理，由于y方向的变化dz，产生的z的变化为：
$$d{z}_y=\frac{\partial z}{\partial y}\times dy$$
所以引起的z的总变化就是：
$$dz=d{z}_x+d{z}_y=\frac{\partial z}{\partial x}\times dx+\frac{\partial z}{\partial y}\times dy$$
所以，我们的d(因变量)就是：
$$d(因变量)=\frac{\partial z}{\partial x}\times dx+\frac{\partial z}{\partial y}\times dy$$

2.3 求出方向导数

三、方向导数最大的方向（梯度）