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在某些论文或文章里看到对数(等角)螺旋线的公式：
。但是搜索了一下，通常都是一些讲解对数等角螺旋线的性质的结果以及公式结果，并没有详细的公式推导。当然对于大多数人只要知道上述公式就好了，当作一个结论公式使用。
当然也有像我这样的想知道公式怎么推出了的，因此我写下这篇文章，希望能够帮助到大家。因本人才疏学浅，文章定有不足，希望大家能够在评论区讨论以及指正。
废话不多说，开启正文！
一、图形引入
下面是对数(等角)螺旋线的图片，可以清晰看出它的性质：图中曲线的在一任意点P处的切线与圆心O到这一点的连线所成角度α不变，也就是α是一个定值。
二、数学公式推导
- 若在极坐标系中，对数(等角)螺旋线的极坐标方程为:
,其中θ表示任意一点P的角度，因此该点极坐标为
。由推导可知该点的切向量为
切向量推导过程如下：
- 点P的极坐标为,因此在直角坐标系中的坐标为
- 再分别对x,y轴坐标进行求导，
，
因此可得该点的切向量为：
- 因为α为该点的切向量与圆心连线的夹角，并且α是一个定值，这个角的大小永远不变，那么接下来就是要求出
这个定值，推导过程如下：
求解过程如下：
- 已知两向量的夹角公式为：
，
所以
- 对上式化简：
- 得到的值后，继续求得
的值：
求解过程如下：
- 已知可求得
，因为
所以，
- 已知可得，因为
所以，
- 继续求得最终对数(等角)螺旋线的极坐标方程：
极坐标方程推导如下：
- 已知
对上述式子两端积分可得，
，其中
为常数
- 化简上式，得到
- 所以，对数(等角)螺旋线的极坐标方程为：
，a为常数
三、性质
以上便是对数(等角)螺旋线极坐标方程的推导，根据公式：，可以得到一些性质。
对于每一个θ，都有一个r值相对应；当θ=0时，r=a，因此a可以影响螺旋线距离圆心的距离。其他的性质就不说那么多了，百度上很多讲性质的。
总结：打公式不易，如有错误欢迎指正！麻烦点赞收藏给个鼓励，谢谢~
最后再补充一张MATLAB实现的图吧！
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