高等数学：Δ函数

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$$\begin{gathered} \Delta \\ \delta \end{gathered}$$
函数是一个广义函数，但在物理学中却有着重要的地位。

对于一维的$\delta$函数，定义如下：
$$\begin{gathered} \delta (x)=+\infty ,whenx=0 \\ \delta (x)=0,whenx\ne 0 \end{gathered}$$
即函数只在$x=0$处有值，在其他区域均为0.

广义函数$\delta (x)$的量纲为$$\frac{1}{[x]}$$

乍一看，我们似乎找不到这样奇怪的函数，但我们可以将$\delta$函数看成是某个带参数的函数序列的极限（参数取极限）下的函数。

比如$$\delta (x)=\underset{l\to 0}{\lim }\frac{1}{l}rect(\frac{x}{l})$$

rect函数为矩形函数。

推广一下，不难得到$\delta$函数$\delta (x-x_0)$的表达式。

$\delta$函数具有很多的性质，其中最重要的一条为$\delta$函数的挑选性。

对于R上的连续函数$f(\xi )$，有以下式子成立
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(\xi )\delta (x-x_0)d\xi =f(x_0)$$
可以看到，$\delta$函数将任意函数$\delta$函数在$x=x_0$的值挑选了出来！

有了挑选性，我们就可以得到$\delta$函数的（广义）傅立叶变换了，得到它的频谱。
$$F(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-0)e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{2\pi }{e}^{-i\omega \cdot 0}=\frac{1}{2\pi }$$
竟然是一个常数！说明函数的频率是均匀的，函数含有的各频分量的比例相同！

这个式子经常用于物理公式的化简，是一个比较重要的结论。

上述说的都是一维的$\delta$函数，实际上可以推广到多维。

如直角坐标系下的$\delta$函数
$$\delta (\vec{r})=0,when\vec{r}=\vec{0}$$$$\delta (\vec{r})=\infty ,when\vec{r}\ne \vec{0}$$
且$${\iiint }_{-\infty }^{\infty }\delta (\vec{r})d\vec{r}=1$$