拓展欧几里得算法

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一、拓展欧几里得算法

1.1 算法简析

根据裴蜀定理，对任意 $a$ 和 $b$，一定存在 $x$ 和 $y$，使 $ax+by=\text{gcd}(a,b)$。拓展欧几里得算法不仅能求出 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，而且能找到一对 $(x,y)$ 使该方程成立。

设求解 $ax+by=\text{gcd}(a,b)$ 的函数为

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) 

该函数返回 $\text{gcd}(a,b)$，即 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。同时，引用的 $x$ 和 $y$ 就是方程的一对解。

假设 $b\ne 0$，
$\text{extgcd(a, b, x, y)}$ 表示的方程为 $ax+by=\text{gcd}(a,b)$
$\text{extgcd(b, a \% b, x’, y’)}$ 表示的方程为 $b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }=\text{gcd}(b,a\%b)$

我们知道 $a\%b$ 是取余运算，可以转换成 $a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$，代入方程得到 $b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y^{\prime }=\text{gcd}(b,a\%b)$，整理得到 $a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime })=\text{gcd}(b,a\%b)$

$$\begin{array}{rl}& \because b\ne 0\\ & \therefore \text{gcd}(a,b)==\text{gcd}(b,a\%b)\\ & \therefore 两个方程的左式是相等的\\ & \\ & ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime })\\ & \therefore x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime }\end{array}$$

假设 $b==0$，
$\text{extgcd(a, b, x, y)}$ 表示的方程为 $ax=\text{gcd}(a,0)=a$，可以得到特解 $x=1,y=0$。

因此，我们可以采用递归的方式定义函数。

1.2 模板

ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { 
    if (b == 0) { 
    x = 1, y = 0; return a; } ll ret = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; return ret; } 

1.3 通解

$\text{extgcd(a, b, x, y)}$ 可以得到 $(x_0,y_0)$ 这一个特解，通解为

$$x=x_0+k\frac{b}{\text{gcd}(a,b)},y=y_0-k\frac{a}{\text{gcd}(a,b)}$$

二、相关题目

2.1 题目描述

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

2.2 问题简析

题目要求 $ax\equiv 1(\text{mod}b)$ 的最小正整数解。因为拓展欧几里得算法求解方程的格式为 $ax+by=\text{gcd}(a,b)$，所以要对原式进行转化。

$$\begin{array}{rl}& \because by\equiv 0(\text{mod}b)\\ & \therefore ax+by\equiv 1(\text{mod}b)\\ & \\ & 令ax+by=1\\ 由裴蜀定理& ，若该方程有解，则\text{gcd}(a,b)=1\\ & \\ \therefore 求ax+by& =\text{gcd}(a,b)成立的最小正整数x\end{array}$$

至此，我们可以直接套用上文的模板求解。需要注意的是，本题要求的是 $x$ 的最小正整数解，所以求出 $x_0$ 后要进行处理：

x = (x % b + b) % b; 

2.3 AC代码

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a, b, x, y; ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { 
     if (b == 0) { 
     x = 1, y = 0; return a; } ll ret = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; return ret; } int main() { 
     cin >> a >> b; extgcd(a, b, x, y); cout << (x % b + b) % b << endl; return 0; } 

完