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n维向量的概念及其线性运算
n维向量的概念
- 含有n个分量， 且只有一行或只有一列的矩阵称为n维向量
- n维实列(或行)向量全体所构成的集合记为 R n R^n Rn
n维向量的线性运算
- 对于列向量
α = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) , β = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) , \alpha= \left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right), \beta= \left( \begin{matrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{matrix} \right), α=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞,β=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞,
α , β \alpha,\beta α,β的和(差)为
( a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ⋮ a n ± b n ) \left( \begin{matrix} a_1\pm b_1\\ a_2\pm b_2\\ \vdots\\ a_n\pm b_n \end{matrix} \right) ⎝⎜⎜⎜⎛a1±b1a2±b2⋮an±bn⎠⎟⎟⎟⎞
分别记作 α + β \alpha+\beta α+β。如果 k k k是数，则数 k k k与向量 α \alpha α的数乘为
( k a 1 k a 2 ⋮ k a n ) \left( \begin{matrix} ka_1\\ka_2\\\vdots\\ka_n \end{matrix} \right) ⎝⎜⎜⎜⎛ka1ka2⋮kan⎠⎟⎟⎟⎞
记为 k α k\alpha kα。加(减)法和数乘运算统称为n维向量的线性运算 - n维向量的线性运算性质
α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α
( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
α + 0 = α \alpha+0=\alpha α+0=α
α + ( − α ) = 0 \alpha+(-\alpha)=0 α+(−α)=0
1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α
k ( l α ) = ( k l ) α k(l\alpha)=(kl)\alpha k(lα)=(kl)α
( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
线性组合和线性表示
- 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn都是n维向量， k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks是数，则称向量
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s k1α1+k2α2+⋯+ksαs是向量组 α 1 + α 2 + ⋯ + α s \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s α1+α2+⋯+αs的线性组合， k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks是这个线性组合的组合系数。如果n维向量 η \eta η可以写成 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的线性组合，则称 η \eta η可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示 - 在n维向量的情形，一个向量是否可以由一个向量组线性表示取决于相应的线性方程组是否有解
- 如果向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt中每个向量都可以由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示，称向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt可以由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示。如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs与 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt可以互相线性表示，则称他们是等价的
- 向量组之间的等价关系具有反身性，对称性，传递性
向量组的线性相关性
线性相关和线性无关
- 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs都是 n n n维向量，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks，使得
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 , k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0, k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0,则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是线性相关的。否则，称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是线性无关的 - 常用结论:
①一个向量 α \alpha α是线性相关的当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0
②两个向量 α , β \alpha,\beta α,β是线性相关的当且仅当 α , β \alpha,\beta α,β的分量成比例
③如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的某个部分组线性相关，则 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,
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