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对于 △ A B C \triangle ABC △ABC, P P P为平面上任意一点, 其垂足三角形为 △ P 1 P 2 P 3 \triangle P_1P_2P_3 △P1P2P3, 是否存在垂足三角形某种特定形状(即 ∠ P 2 P 1 P 3 = α \angle P_2P_1P_3=\alpha ∠P2P1P3=α, ∠ P 1 P 2 P 3 = β \angle P_1P_2P_3=\beta ∠P1P2P3=β, ∠ P 1 P 2 P 3 = γ \angle P_1P_2P_3=\gamma ∠P1P2P3=γ)的点 P P P? 并求出其集合.
因此充要条件可以进一步弱化为这三个圆任意两个的交点.
当交点在顶点上时, 没有满足条件的点. 否则存在, 其集合为该交点.
在回答下一个问题前, 我们先证明一条引理, 对于 △ A B C \triangle ABC △ABC, 将由 P P P 向三边所引的三条垂线旋转任意角度, 与三边(所在直线)的交点构成的三角形均与 △ P 1 P 2 P 3 \triangle P_1P_2P_3 △P1P2P3 相似.
易证三个阴影三角形相似, 进而 △ P 3 P P 2 ∼ ∠ P 3 ′ P P 2 ′ \triangle P_3PP_2 \sim \angle P_{3}{‘} PP_{2}{‘} △P3PP2∼∠P3′PP2′, △ P 3 P P 1 ∼ ∠ P 3 ′ P P 1 ′ \triangle P_3PP_1 \sim \angle P_{3}{‘} PP_1{‘} △P3PP1∼∠P3′PP1′, △ P 2 P P 1 ∼ ∠ P 2 ′ P P 1 ′ \triangle P_2PP_1 \sim \angle P_2{‘} PP_1{‘} △P2PP1∼∠P2′PP1′
进而 ∠ P 3 P 2 P 1 = ∠ P 3 ′ P 2 ′ P 1 ′ \angle P_3P_2P_1=\angle P_3{‘}P_2{‘}P_1{‘} ∠P3P2P1=∠P3′P2′P1′
∠ P 3 P 1 P 2 = ∠ P 3 ′ P 1 ′ P 2 ′ \angle P_3P_1P_2=\angle P_3{‘}P_1{‘}P_2{‘} ∠P3P1P2=∠P3′P1′P2′
∠ P 2 P 3 P 1 = ∠ P 2 ′ P 3 ′ P 1 ′ \angle P_2P_3P_1=\angle P_2{‘}P_3{‘}P_1{‘} ∠P2P3P1=∠P2′P3′P1′
进而
△ P 3 P 1 P 2 ∼ △ P 3 ′ P 1 ′ P 2 ′ \triangle P_3P_1P_2 \sim \triangle P_3{‘}P_1{‘}P_2{‘} △P3P1P2∼△P3′P1′P2′
是否存在某种特定形状(即 ∠ S 2 S 1 S 3 = α \angle S_2S_1S_3=\alpha ∠S2S1S3=α, ∠ S 1 S 2 S 3 = β \angle S_1S_2S_3=\beta ∠S1S2S3=β, ∠ S 1 S 3 S 2 = γ \angle S_1S_3S_2=\gamma ∠S1S3S2=γ)的内接三角形(三点分别在三角形三边所在直线上即算作内接三角形)？并求出其集合.
可以证明: 若一个内接三角形为此形状, 则其 Miquel 点的垂足三角形必然为此形状, 即其 Miquel 点必为垂足三角形为此形状的点, 记为 S S S, 且其必然与 S S S 的垂足三角形满足引理中 △ P 1 ′ P 2 ′ P 3 ′ \triangle P_1’P_2’P_3′ △P1′P2′P3′ 与 △ P 1 P 2 P 3 \triangle P_1P_2P_3 △P1P2P3的位置关系.
证明可参考引理, 此处略.
由此我们不难回答此问题, 当存在一点 S S S 的垂足三角形为此形状时, 此类内接三角形必然存在, 其集合是所有与 S S S 的垂足三角形满足引理中 △ P 1 ′ P 2 ′ P 3 ′ \triangle P_1’P_2’P_3′ △P1′P2′P3′ 与 △ P 1 P 2 P 3 \triangle P_1P_2P_3 △P1P2P3的位置关系的内接三角形.
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