高等数学——一文搞定一元函数积分学

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积分的求解

基本公式法

• $\int 0dx=C$
• $\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1)$
• $\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a\ne 1)$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int sinxdx=-cosx+C$
• $\int cosxdx=sinx+C$
• $\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$
• $\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$
• $\int secxtanxdx=secx+C$
• $\int cscxcotxdx=-cscx+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C$
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
• $\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$
• $\int cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C$

分项积分法（有理函数积分）

对于分母是有理函数形式的积分，可以采用分项积分法。

分母为单重一次因式的积分

$$\int \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}dx=\int \frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}dx$$
其中
$$A=\frac{f(x)}{(x-b)(x-c)}{|}_{x=a},B=\frac{f(x)}{(x-a)(x-c)}{|}_{x=b},C=\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}{|}_{x=c}$$

分母为多重一次因式的积分

$$\int \frac{f(x)}{(x-a)(x-b{)}^n}dx$$

• 法一（重因式次数较低时使用更佳）：带公式
  $$\int \frac{f(x)}{(x-a)(x-b{)}^n}dx=\int \frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-b{)}^n}+\sum _{k=n-1}^1\frac{C_k}{(x-b{)}^k}dx$$
  其中
  $$A=\frac{f(x)}{(x-b{)}^n}{|}_{x=a},B=\frac{f(x)}{x-a}{|}_{x=b},C_k=\frac{1}{(n-k)!}[\frac{f(x)}{(x-a)}{]}^{n-k}{|}_{x=a}$$
  
  
  
• 法二（重因式次数较高时使用更佳）：倒代换，哪一项是重因式，就倒代换哪一项：
  令$$t=\frac{1}{x-b}$$
  带入原式。
  
  

分母有$\Delta <0$的二次因式积分

分子设为$A(分母导数)+B$
$$\int \frac{f(x)}{(x-a)(x^2-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B2x+C}{x^2-b}$$
其中
$$A=\frac{f(x)}{x^2-b}{|}_{x=a}$$
$B,C$通分解方程。

分部积分法

• 何时用：出现两类函数相乘时使用。
• 如何用：
  • $\int P_n(x)e^{ax}dx$、$\int P_n(x)sinaxdx$、$\int P_n(x)cosaxdx$：将多项式以外的函数凑进微分号中。
  • $\int P_n(x)lnxdx$、$\int P_n(x)arctanxdx$、$\int P_n(x)arcsinxdx$：将多项式凑进微分号中。
  • $\int e^{ax}sin\beta xdx$、$\int e^{ax}cos\beta xdx$：凑谁都可以，但凑指数更简单。

多次分部积分（表格法）

• 上求导，下积分

• 正负相间

• 前面几项斜相乘相加，最后一项竖相乘写到积分号里

$$\begin{gathered} \int x^2{e}^{2x}=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{2x}-\frac{1}{2}x{e}^{2x}+\frac{1}{4}{e}^{2x}+\int 0 \\ =\frac{1}{2}{x}^2{e}^{2x}-\frac{1}{2}x{e}^{2x}+\frac{1}{4}{e}^{2x}+C \end{gathered}$$

换元积分法

• 第一类换元积分法：设$\int f(u)du=F(u)+C$，$u=\phi (x)$存在连续导数，则$$\int f[\phi (x)]d\phi (x)=F(\phi (x))+C$$常见的凑微分形式如下：
  • $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
  • $\int x^{m}f(a{x}^m+b)dx=\frac{1}{(m+1)a}\int f(a{x}^{m+1}+b)d(a{x}^{m+1}+b)(m\ne 1)$
  • $\int f(\sqrt{x})\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})d\sqrt{x}$
  • $\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$
  • $\int f(lnx)\frac{1}{x}dx=\int f(lnx)d(lnx)$
  • $\int f(sinx)cosxdx=\int f(sinx)d(sinx)$
  • $\int f(cosx)sinxdx=-\int f(cosx)d(cosx)$
  • $\int f(tanx)\frac{1}{co{s}^{2}x}dx=\int f(tanx)d(tanx)$
  • $\int f(arcsinx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(arcsinx)d(arcsinx)$
  • $\int f(arctanx)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(arctanx)d(arctanx)$
• 第二类换元积分法：设$x=\phi (t)$是单调的可导的函数，并且${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，又$$\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$$则$$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C=F[{\phi }^{-1}(x)]+C$$其中${\phi }^{-1}(x)$是$x=\phi (t)$的反函数。常见的三种变量代换如下：
  • 被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=asint$（或$acost$）
  • 被积函数含有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=atant$
  • 被积函数含有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=asect$

三角有理式积分

对于三角有理式：$\int R(sinx,cosx)dx$（$R(sinx,cosx)$由$sinx$和$cosx$加减乘除得到）：

• 一般方法：令$tan\frac{x}{2}=t$，则：
  $$\int R(sinx,cosx)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$$
  
• 特殊方法（三角变形、换元、分部）
  • 若$R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)$，则令$u=cosx$
  • 若$R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)$，则令$u=sinx$
  • 若$R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)$，则令$u=tanx$

简单无礼函数积分

对于简单无理函数的积分（开多少次方都可以，但里边必须是一次式比）：$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$ ， 一般方法是令$\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$，然后做变量替换。

奇偶性求定积分

设函数$f(x)$为$[-a,a]$上的连续函数（a>0），则$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{l}0,f(x)为奇函数时\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx,f(x)为偶函数时\end{array}$$

周期性求定积分

设$f(x)$是以$T$为周期的连续函数，则对任意给数$a$，总有$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$$

格林公式求定积分

• $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times \dots \times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2},n为正偶数\\ \frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times \dots \times \frac{2}{3},n为大于1的奇数\end{array}$$
• $${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx,其中f(x)连续$$

反常积分敛散性的判断

定积分的几何应用

定积分的物理应用

• 重力：$G=mg$
• 质量：$m=\rho v$
• 做功：$W=FS$
• 液体浮力：$F={\rho }_{液}g{v}_{形}$
• 液体压力：$F=PS$
• 液体压强：$P={\rho }_{液}gh$
• 引力：
  • $F_{万}=G\frac{Mm}{r^2}$
  • $F_{库}=k\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$