高等数学——一文搞定一元函数积分学

高等数学——一文搞定一元函数积分学高等数学 定积分和不定积分 一元函数求积分

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积分的求解

基本公式法

  • ∫ 0 d x = C \int 0dx=C 0dx=C
  • ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C ( a ≠ − 1 ) \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C(a≠-1) xadx=a+11xa+1+C(a=1)
  • ∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C x1dx=lnx+C
  • ∫ a x d x = a x l n a + C ( a > 0 , a ≠ 1 ) \int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a≠1) axdx=lnaax+C(a>0,a=1)
  • ∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C exdx=ex+C
  • ∫ s i n x d x = − c o s x + C \int sinxdx=-cosx+C sinxdx=cosx+C
  • ∫ c o s x d x = s i n x + C \int cosxdx=sinx+C cosxdx=sinx+C
  • ∫ s e c 2 x d x = t a n x + C \int sec^2xdx=tanx+C sec2xdx=tanx+C
  • ∫ c s c 2 x d x = − c o t x + C \int csc^2xdx=-cotx+C csc2xdx=cotx+C
  • ∫ s e c x t a n x d x = s e c x + C \int secxtanxdx=secx+C secxtanxdx=secx+C
  • ∫ c s c x c o t x d x = − c s c x + C \int cscxcotxdx=-cscx+C cscxcotxdx=cscx+C
  • ∫ 1 1 − x 2 d x = a r c s i n x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C 1x2
    1
    dx=
    arcsinx+C
  • ∫ 1 a 2 − x 2 d x = a r c s i n x a + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C a2x2
    1
    dx=
    arcsinax+C
  • ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t a n x + C \int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C 1+x21dx=arctanx+C
  • ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a a r c t a n x a + C \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C a2+x21dx=a1arctanax+C
  • ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C x2a21dx=2a1lnx+axa+C
  • ∫ 1 x 2 + a 2 d x = l n ( x + x 2 + a 2 ) + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C x2+a2
    1
    dx=
    ln(x+x2+a2
    )+
    C
  • ∫ 1 x 2 − a 2 d x = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C x2a2
    1
    dx=
    lnx+x2a2
    +
    C
  • ∫ s e c x d x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int secxdx=ln|secx+tanx|+C secxdx=lnsecx+tanx+C
  • ∫ c s c x d x = − l n ∣ c s c x + c o t x ∣ + C \int cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C cscxdx=lncscx+cotx+C

分项积分法(有理函数积分)

对于分母是有理函数形式的积分,可以采用分项积分法。

分母为单重一次因式的积分

∫ f ( x ) ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) d x = ∫ A x − a + B x − b + C x − c d x \int\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}dx=\int\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}dx (xa)(xb)(xc)f(x)dx=xaA+xbB+xcCdx
其中
A = f ( x ) ( x − b ) ( x − c ) ∣ x = a , B = f ( x ) ( x − a ) ( x − c ) ∣ x = b , C = f ( x ) ( x − a ) ( x − b ) ∣ x = c A=\frac{f(x)}{(x-b)(x-c)}|_{x=a}, B=\frac{f(x)}{(x-a)(x-c)}|_{x=b}, C=\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}|_{x=c} A=(xb)(xc)f(x)x=a,B=(xa)(xc)f(x)x=b,C=(xa)(xb)f(x)x=c

分母为多重一次因式的积分

∫ f ( x ) ( x − a ) ( x − b ) n d x \int\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)^n}dx (xa)(xb)nf(x)dx

  • 法一(重因式次数较低时使用更佳):带公式
    ∫ f ( x ) ( x − a ) ( x − b ) n d x = ∫ A x − a + B ( x − b ) n + ∑ k = n − 1 1 C k ( x − b ) k d x \int\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)^n}dx=\int\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-b)^n}+\sum_{k=n-1}^1\frac{C_k}{(x-b)^{k}}dx (xa)(xb)nf(x)dx=xaA+(xb)nB+k=n11(xb)kCkdx
    其中
    A = f ( x ) ( x − b ) n ∣ x = a , B = f ( x ) x − a ∣ x = b , C k = 1 ( n − k ) ! [ f ( x ) ( x − a ) ] n − k ∣ x = a A=\frac{f(x)}{(x-b)^n}|_{x=a}, B=\frac{f(x)}{x-a}|_{x=b}, C_k=\frac{1}{(n-k)!}[\frac{f(x)}{(x-a)}]^{n-k}|_{x=a} A=(xb)nf(x)x=a,B=xaf(x)x=b,Ck=(nk)!1[(xa)f(x)]nkx=a


  • 法二(重因式次数较高时使用更佳):倒代换,哪一项是重因式,就倒代换哪一项:
    t = 1 x − b t=\frac{1}{x-b} t=xb1
    带入原式。

分母有 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0的二次因式积分

分子设为 A ( 分母导数 ) + B A(分母导数)+B A(分母导数)+B
∫ f ( x ) ( x − a ) ( x 2 − b ) = A x − a + B 2 x + C x 2 − b \int\frac{f(x)}{(x-a)(x^2-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B2x+C}{x^2-b} (xa)(x2b)f(x)=xaA+x2bB2x+C
其中
A = f ( x ) x 2 − b ∣ x = a A=\frac{f(x)}{x^2-b}|_{x=a} A=x2bf(x)x=a
B , C B,C B,C通分解方程。



分部积分法

  • 何时用:出现两类函数相乘时使用。
  • 如何用:
    • ∫ P n ( x ) e a x d x \int P_n(x)e^{ax}dx Pn(x)eaxdx ∫ P n ( x ) s i n a x d x \int P_n(x)sinaxdx Pn(x)sinaxdx ∫ P n ( x ) c o s a x d x \int P_n(x)cosaxdx Pn(x)cosaxdx:将多项式以外的函数凑进微分号中。
    • ∫ P n ( x ) l n x d x \int P_n(x)lnxdx Pn(x)lnxdx ∫ P n ( x ) a r c t a n x d x \int P_n(x)arctanxdx Pn(x)arctanxdx ∫ P n ( x ) a r c s i n x d x \int P_n(x)arcsinxdx Pn(x)arcsinxdx:将多项式凑进微分号中。
    • ∫ e a x s i n β x d x \int e^{ax}sin\beta xdx eaxsinβxdx ∫ e a x c o s β x d x \int e^{ax}cos\beta xdx eaxcosβxdx:凑谁都可以,但凑指数更简单。

多次分部积分(表格法)

  • 上求导,下积分
x 2 x^2 x2 2 x 2x 2x 2 2 2 0 0 0
e 2 x e^{2x} e2x 1 2 e 2 x \frac{1}{2}e^{2x} 21e2x 1 4 e 2 x \frac{1}{4}e^{2x} 41e2x 1 8 e 2 x \frac{1}{8}e^{2x} 81e2x
  • 正负相间
x 2 x^2 x2 − 2 x -2x 2x + 2 +2 +2 − 0 -0 0
e 2 x e^{2x} e2x 1 2 e 2 x \frac{1}{2}e^{2x} 21e2x 1 4 e 2 x \frac{1}{4}e^{2x} 41e2x 1 8 e 2 x \frac{1}{8}e^{2x} 81e2x
  • 前面几项斜相乘相加,最后一项竖相乘写到积分号里

∫ x 2 e 2 x = 1 2 x 2 e 2 x − 1 2 x e 2 x + 1 4 e 2 x + ∫ 0 = 1 2 x 2 e 2 x − 1 2 x e 2 x + 1 4 e 2 x + C \int x^2e^{2x}=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+\int0\\ =\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C x2e2x=21x2e2x21xe2x+41e2x+0=21x2e2x21xe2x+41e2x+C

换元积分法

  • 第一类换元积分法:设 ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \int f(u)du=F(u)+C f(u)du=F(u)+C u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)存在连续导数,则 ∫ f [ φ ( x ) ] d φ ( x ) = F ( φ ( x ) ) + C \int f[\varphi(x)]d\varphi(x)=F(\varphi(x))+C f[φ(x)]dφ(x)=F(φ(x))+C常见的凑微分形式如下:
    • ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a ∫ f ( a x + b ) d ( a x + b ) \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b) f(ax+b)dx=a1f(ax+b)d(ax+b)
    • ∫ x m f ( a x m + b ) d x = 1 ( m + 1 ) a ∫ f ( a x m + 1 + b ) d ( a x m + 1 + b ) ( m ≠ 1 ) \int x^mf(ax^m+b)dx=\frac{1}{(m+1)a}\int f(ax^{m+1}+b)d(ax^{m+1}+b)(m≠1) xmf(axm+b)dx=(m+1)a1f(axm+1+b)d(axm+1+b)(m=1)
    • ∫ f ( x ) d x x = 2 ∫ f ( x ) d x \int f(\sqrt x)\frac{dx}{\sqrt x}=2\int f(\sqrt x)d\sqrt x f(x
      )x
      dx
      =
      2f(x
      )dx
    • ∫ f ( e x ) e x d x = ∫ f ( e x ) d ( e x ) \int f(e^x)e^xdx=\int f(e^x)d(e^x) f(ex)exdx=f(ex)d(ex)
    • ∫ f ( l n x ) 1 x d x = ∫ f ( l n x ) d ( l n x ) \int f(lnx)\frac{1}{x}dx=\int f(lnx)d(lnx) f(lnx)x1dx=f(lnx)d(lnx)
    • ∫ f ( s i n x ) c o s x d x = ∫ f ( s i n x ) d ( s i n x ) \int f(sinx)cosxdx=\int f(sinx)d(sinx) f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx)
    • ∫ f ( c o s x ) s i n x d x = − ∫ f ( c o s x ) d ( c o s x ) \int f(cosx)sinxdx=-\int f(cosx)d(cosx) f(cosx)sinxdx=f(cosx)d(cosx)
    • ∫ f ( t a n x ) 1 c o s 2 x d x = ∫ f ( t a n x ) d ( t a n x ) \int f(tanx)\frac{1}{cos^2x}dx=\int f(tanx)d(tanx) f(tanx)cos2x1dx=f(tanx)d(tanx)
    • ∫ f ( a r c s i n x ) 1 1 − x 2 d x = ∫ f ( a r c s i n x ) d ( a r c s i n x ) \int f(arcsinx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(arcsinx)d(arcsinx) f(arcsinx)1x2
      1
      dx=
      f(arcsinx)d(arcsinx)
    • ∫ f ( a r c t a n x ) 1 1 + x 2 d x = ∫ f ( a r c t a n x ) d ( a r c t a n x ) \int f(arctanx)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(arctanx)d(arctanx) f(arctanx)1+x21dx=f(arctanx)d(arctanx)
  • 第二类换元积分法:设 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t)是单调的可导的函数,并且 φ ′ ( t ) ≠ 0 \varphi'(t)≠0 φ(t)=0,又 ∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C f[φ(t)]φ(t)dt=F(t)+C ∫ f ( x ) d x = ∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C = F [ φ − 1 ( x ) ] + C \int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C f(x)dx=f[φ(t)]φ(t)dt=F(t)+C=F[φ1(x)]+C其中 φ − 1 ( x ) \varphi^{-1}(x) φ1(x) x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t)的反函数。常见的三种变量代换如下:
    • 被积函数含有 a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a2x2
      ,令 x = a s i n t x=asint x=asint(或 a c o s t acost acost
    • 被积函数含有 a 2 + x 2 \sqrt{a^2+x^2} a2+x2
      ,令 x = a t a n t x=atant x=atant
    • 被积函数含有 x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x2a2
      ,令 x = a s e c t x=asect x=asect

三角有理式积分

对于三角有理式: ∫ R ( s i n x , c o s x ) d x \int R(sinx,cosx)dx R(sinx,cosx)dx R ( s i n x , c o s x ) R(sinx,cosx) R(sinx,cosx) s i n x sinx sinx c o s x cosx cosx加减乘除得到):

  • 一般方法:令 t a n x 2 = t tan\frac{x}{2}=t tan2x=t,则:
    ∫ R ( s i n x , c o s x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t \int R(sinx,cosx)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt R(sinx,cosx)dx=R(1+t22t,1+t21t2)1+t22dt
  • 特殊方法(三角变形、换元、分部)
    • R ( − s i n x , c o s x ) = − R ( s i n x , c o s x ) R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),则令 u = c o s x u=cosx u=cosx
    • R ( s i n x , − c o s x ) = − R ( s i n x , c o s x ) R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),则令 u = s i n x u=sinx u=sinx
    • R ( − s i n x , − c o s x ) = R ( s i n x , c o s x ) R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),则令 u = t a n x u=tanx u=tanx

简单无礼函数积分

对于简单无理函数的积分(开多少次方都可以,但里边必须是一次式比): ∫ R ( x , a x + b c x + d ) d x \int R(x,\sqrt\frac{ax+b}{cx+d})dx R(x,cx+dax+b
)dx
, 一般方法是令 a x + b c x + d = t \sqrt\frac{ax+b}{cx+d}=t cx+dax+b
=
t
,然后做变量替换。

奇偶性求定积分

设函数 f ( x ) f(x) f(x) [ − a , a ] [-a,a] [a,a]上的连续函数(a>0),则 ∫ − a a f ( x ) d x = { 0 , f ( x ) 为奇函数时 2 ∫ 0 a f ( x ) d x , f ( x ) 为偶函数时 \int_{-a}^af(x)dx= \begin{cases} 0,f(x)为奇函数时\\ 2\int_0^af(x)dx,f(x)为偶函数时\\ \end{cases} aaf(x)dx={
0,f(x)为奇函数时20af(x)dx,f(x)为偶函数时

周期性求定积分

f ( x ) f(x) f(x)是以 T T T为周期的连续函数,则对任意给数 a a a,总有 ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx

格林公式求定积分

  • ∫ 0 π 2 s i n n x d x = ∫ 0 π 2 c o s n x d x = { n − 1 n × n − 3 n − 2 × . . . × 1 2 × π 2 , n 为正偶数 n − 1 n × n − 3 n − 2 × . . . × 2 3 , n 为大于 1 的奇数 \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=\begin{cases} \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times…\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2},n为正偶数\\\frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times…\times\frac{2}{3},n为大于1的奇数\end{cases} 02πsinnxdx=02πcosnxdx={
    nn1×n2n3××21×2π,n为正偶数nn1×n2n3××32,n为大于1的奇数
  • ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x , 其中 f ( x ) 连续 \int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx,其中f(x)连续 0πxf(sinx)dx=2π0πf(sinx)dx,其中f(x)连续

反常积分敛散性的判断

定积分的几何应用

定积分的物理应用

  • 重力: G = m g G=mg G=mg
  • 质量: m = ρ v m=\rho v m=ρv
  • 做功: W = F S W=FS W=FS
  • 液体浮力: F = ρ 液 g v 形 F=\rho_液gv_形 F=ρgv
  • 液体压力: F = P S F=PS F=PS
  • 液体压强: P = ρ 液 g h P=\rho_液gh P=ρgh
  • 引力:
    • F 万 = G M m r 2 F_万=G\frac{Mm}{r^2} F=Gr2Mm
    • F 库 = k Q 1 Q 2 r 2 F_库=k\frac{Q_1Q_2}{r^2} F=kr2Q1Q2

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