割圆术计算圆周率

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前言

计算圆周率有多种算法，其中割圆术是中国最早的一种算法，理解简单，适合入门。而随着计算机、数学的发展，人们发明了更高效的算法，计算机也帮助人们将圆周率计算至小数点后 3.14 万亿位。

一、割圆术简介

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

二、原理

如图所示，根据圆的面积公式 $S=\pi r^2$ 可知，当圆的半径为 1 时，圆的面积等于 π，所以我们可以算半径为 1 的正多边形的面积，即可得到近似的 π。观察图像，S_圆 > S_正24边形 > S_正12边形 > S_正6边形，所以我们的计算结果的精确度随边的个数的增加而提高，但始终小于 S_圆，即始终小于 π。

三、算法实现

四、实例代码

Java I

import java.util.Scanner; public class Main { 
      public static void main(String[] args){ 
      Scanner input=new Scanner(System.in); int n=input.nextInt(),i=1; double p=0.5,s=1; while(i<=n){ 
      p=Math.sqrt((p+1)/2); s=s*p; i++; } System.out.println(1.5*Math.sqrt(3)/s); } } 

结果：

99 3.9794 

Java II

该处使用了 java.math.BigDecimal 模块，以提高小数位数。

import java.math.BigDecimal; import java.math.MathContext; import java.math.RoundingMode; import java.util.Scanner; public class Main { 
      static MathContext mc = new MathContext(100, RoundingMode.HALF_UP); //BigDecimal开方 public static BigDecimal sqrt(BigDecimal a) { 
      BigDecimal _2=BigDecimal.valueOf(2.0); if(a.compareTo(BigDecimal.ZERO)==0)return BigDecimal.ZERO; else{ 
      BigDecimal x=a; int cnt=0; while(cnt<100){ 
      x=(x.add(a.divide(x,mc))).divide(_2,mc); cnt++; } return x; } } public static void main(String[] args){ 
      Scanner input=new Scanner(System.in); int n=input.nextInt(),i=1; BigDecimal p=new BigDecimal("0.5"),s=BigDecimal.ONE; while(i<=n){ 
      p=sqrt(p.add(BigDecimal.ONE).divide(new BigDecimal("2"),mc)); s=s.multiply(p); i++; } System.out.println(sqrt(new BigDecimal("3")).multiply(new BigDecimal("1.5")).divide(s,mc)); } } 

结果：（该算法精确至小数点后60位）

100 3.74944/*第60位*/ 

Python

该处用到了 decimal 库，精确度更高。

#!/usr/bin/python3 # -*- coding: utf-8 -*- from decimal import * getcontext().prec=256 #数字长度 n,i,c,s=input('请输入n: '),0,Decimal('0.5'),Decimal('1') n=int(n) while i<n: c=((c+1)/2)Decimal('0.5') s*=c i+=1 print('π约为: '+str(Decimal('1.5')*(Decimal('3')Decimal('0.5'))/s)) 

结果：（该算法精确至小数点后 253 位）

请输入n: 1024 π约为: 3./*第253位*/50 

总结

文章结束，你应该掌握了割圆术，运用数学上的极限思维解决问题。对于圆周率的计算，目前已没多大实用意义，但这正是计算机技术进步的一个标尺。

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