【双曲几何】圆盘上的三角形概念

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一、说明

本文对双曲空间的三角形进行分析，本篇首先给出，参考圆内外的点映射，进而说明三角形形状的反演映射关系。进而给出正交三角图和射影中心的概念。我i们常常提到庞加莱盘的概念，但是深入探讨的时候，发现许多常识的不足，本篇也只是一些基本常识。基本概念而已。

二、对偶三角形概念

2.1 反演关系

2.2 对偶关系

2.3 找出三角形的对偶三角形

何为对偶三角形，我们这里给出一个三角形$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$，置于基础圆盘附近，下面将一步一步说明，其对偶三角形的概念。

三角形图元：（triangle）$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$
相关三个边：（associated trilateral）$\overline{L_1{L}_2{L}_3}$
对偶三个边：（dual trilateral）$\overline{A_1{A}_2{A}_3}$
对偶三角形：（dual triangle）$\overline{l_1{l}_2{l}_3}$

如图所示：其中：
$\overline{a_1{a}_2}=L_3$,
$\overline{a_1{a}_3}=L_2$,
$\overline{a_2{a}_3}=L_1$
以上标注了三条边。
做$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$的对偶极线：构成对偶三个边：（dual trilateral）
$\overline{A_1{A}_2{A}_3}$
通过对偶边，获得对偶顶点，构成对偶三角形
$\overline{A_1{A}_2}=l_3$
$\overline{A_2{A}_3}=l_1$
$\overline{A_1{A}_3}=l_2$
至此，对偶三角形被画出。
一句话，三角形顶点的极线构成对偶三角形。

三、正交三角形概念

3.1 通过对偶三角形，找到垂心

在图2中，找到三角形$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$的对偶三角形$\overline{l_1{l}_2{l}_3}$
我们在图2的基础上，连接$\overline{a_1{l}_1}$,$\overline{a_2{l}_2}$，$\overline{a_3{l}_3}$，此三条线交于h点，h点叫做三角形$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$的垂心。

3.2 正交三角形的概念

我们在图2的基础上，连接$\overline{a_1{l}_1}$,$\overline{a_2{l}_2}$，$\overline{a_3{l}_3}$，此三条线是三角形$\overline{a_1{a}_2{a}_3}$的垂线，分别交$L_1$于$b_1$，交$L_2$于$b_2$，交$L_3$于$b_3$，其中$\overline{b_1{b}_2{b}_3}$构成正交三角形。

3.3 中心射影点的概念

四、后记

对于几何图形在双曲空间的映射，这只是一个开端，进一步说，其他图元如何映射？如何编程？这些将是我们逐步考察的内容，敬请关注，谢谢！