大家好，欢迎来到IT知识分享网。
复数的确切意义
为了解出二次、三次甚至更高次方程，数学家引入了虚数单位 i \rm i i，定义 i 2 = − 1 \mathrm{i}^2=-1 i2=−1。但是，他们对于那些含有虚数的表达式的确切意义是感到困惑的。当然，现在可能也有不少同学很难接受虚数，因为它们确确实实是不存在的。
“虚数”这一名称就说明， i \rm i i 曾经被认为是不存在的数字。
后来，复数的运算有了简单的几何解释。把复数 z = a + b i z=a+b\rm i z=a+bi 用复平面上的点 ( a , b ) (a,b) (a,b) 表示， z z z 的实部就是该点的横坐标，而虚部就是纵坐标。引入了复平面后，虚数就像之前所学的实数一样真实。形如 ( a , 0 ) (a,\ 0) (a, 0) 的点表示实数 a + 0 i a+0\rm i a+0i，形如 ( 0 , b ) ( b ≠ 0 ) (0,\ b)\ (b\ne0) (0, b) (b=0) 的点表示纯虚数 0 + b i 0+b\rm i 0+bi。
1. 复数的几何形式
复数 z = a + b i z=a+b\rm i z=a+bi 既可以用复平面上的点 Z ( a , b ) Z(a,\ b) Z(a, b) 来表示，也可以用由原点出发的向量 O Z → \overrightarrow{OZ} OZ 来表示。这两种形式就是复数的几何形式。
共轭复数
在复平面上，有一个点和 Z ( a , b ) Z(a,\ b) Z(a, b) 有比较紧密的联系，就是复数 z = a + b i z=a+b\rm i z=a+bi 的共轭复数 z ‾ = a − b i \overline{z}=a-b\rm i z=a−bi。
共轭复数的运算会有很多特别的性质，例如： ∣ O Z → ∣ 2 = z ⋅ z ‾ \big|\overrightarrow{OZ}\big|^2=z\cdot \overline{z}
OZ
2=z⋅z。
推导过程： ∣ O Z → ∣ 2 = a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) = z ⋅ z ‾ . \big|\overrightarrow{OZ}\big|^2=a^2+b^2=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=z\cdot\overline{z}.
OZ
2=a2+b2=(a+bi)(a−bi)=z⋅z.
这条性质比较常用，也算是一个隐含的条件。在解题时巧妙运用这个性质，可以减少一定的计算量。
这里再列举一些比较常用的：
- z + z ‾ = 2 R e ( z ) z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z) z+z=2Re(z)， z − z ‾ = 2 I m ( z ) z-\overline{z}=2\mathrm{Im}(z) z−z=2Im(z)
- z ‾ ‾ = z \overline{\overline{z}}=z z=z
- z 1 ± z 2 ‾ = z 1 ‾ ± z 2 ‾ \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2} z1±z2=z1±z2
- z 1 z 2 ‾ = z 1 ‾ ⋅ z 2 ‾ \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} z1z2=z1⋅z2
- ( z 1 z 2 ) ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ ( z 2 ≠ 0 ) \overline{\Big(\dfrac{z_1}{z_2}\Big)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\ne0) (z2z1)=z2z1(z2=0)
和差积商的共轭等于共轭的和差积商，大家可以自行推导。
- z z z 是实数的充要条件是 z ‾ = z \overline{z}=z z=z； z z z 是纯虚数的充要条件是 z = − z ‾ ( z ≠ 0 ) z=-\overline{z}\ (z\ne0) z=−z (z=0)。
复数的模
O Z → \overrightarrow{OZ} OZ 的模长 a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2 就是复数 z = a + b i z=a+b\rm i z=a+bi 的模，用符号 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ 表示。
复数的模也有很多性质。
- ∣ z ∣ ≥ ∣ R e ( z ) ∣ |z|\ge|\mathrm{Re}(z)| ∣z∣≥∣Re(z)∣， ∣ z ∣ ≥ ∣ I m ( z ) ∣ |z|\ge|\mathrm{Im}(z)| ∣z∣≥∣Im(z)∣
- ∣ z 1 z 2 ⋯ z n ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ ⋯ ∣ z n ∣ |z_1z_2\cdots z_n|=|z_1|\cdot|z_2|\cdots|z_n| ∣z1z2⋯zn∣=∣z1∣⋅∣z2∣⋯∣zn∣
- ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ ( z 2 ≠ 0 ) \bigg|\dfrac{z_1}{z_2}\bigg|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\ (z_2\ne0)
z2z1
=∣z2∣∣z1∣ (z2=0) - ∣ ∣ z 1 ∣ − ∣ z 2 ∣ ∣ ≤ ∣ z 1 + z 2 ∣ ||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2| ∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1+z2∣，与复数 z 1 z_1 z1， z 2 z_2 z2 对应的向量 O Z 1 → \overrightarrow{OZ_1} OZ1， O Z 2 → \overrightarrow{OZ_2} OZ2 反向时等号成立。
- ∣ z 1 + z 2 + ⋯ + z n ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣ + ⋯ + ∣ z n ∣ |z_1+z_2+\cdots+z_n|\le|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n| ∣z1+z2+⋯+zn∣≤∣z1∣+∣z2∣+⋯+∣zn∣，与复数 z 1 , z 2 , ⋯ , z n z_1,\ z_2, \ \cdots,\ z_n z1, z2, ⋯, zn 对应的向量 O Z 1 → , O Z 2 → , ⋯ , O Z n → \overrightarrow{OZ_1},\ \overrightarrow{OZ_2},\ \cdots,\ \overrightarrow{OZ_n} OZ1, OZ2, ⋯, OZn 同向时取等号。
复数的几何意义可以从向量的世界里找到答案。两个向量的和对应着平行四边形的对角线，两个向量的差对应着三角形的第三边，那我们再看看乘法会是什么样的。
2. 复数的三角形式
上面说了那么多，可能大家会很好奇复数的模的性质2是怎么来的。为什么运算中乘积的模等于模的乘积？想要解开这个谜，那就不得不提复数的三角形式。
辐角和辐角主值
回归复平面，复数 z z z 可以用它所对应的向量 O Z → \overrightarrow{OZ} OZ 来表示，直线 O Z OZ OZ 与 x x x 轴正半轴的交角就叫做辐角，之所以不说是直线 O Z OZ OZ 与 x x x 轴的夹角，因为夹角限制了范围 [ 0 ∘ , 18 0 ∘ ) [0^{\circ},180^{\circ}) [0∘,180∘)，但是辐角是没有限制的，并且可正可负。在此提一下，辐角是并不是唯一确定的，因为相差 36 0 ∘ 360^{\circ} 360∘ 的整数倍并不会影响终边的位置。
在无数多个辐角中，有一个特殊的辐角 θ 0 \theta_0 θ0 满足 − π < θ 0 < π -\pi<\theta_0<\pi −π<θ0<π，我们称 θ 0 \theta_0 θ0 为复数 z z z 的主辐角，记作 arg z \arg z argz。
辐角可以根据复数的代数形式来计算，对于 z = a + b i z=a+b\rm i z=a+bi，我们可以求出 arg z = arctan b a . \arg z=\arctan\dfrac{b}{a}. argz=arctanab.
复数的三角形式，就和辐角有着联系。将 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ 记为 r r r，再结合辐角 θ \theta θ，我们就可以写出复数的三角形式 z = r ( cos θ + i sin θ ) z=r(\cos\theta+\rm i\sin\theta) z=r(cosθ+isinθ)
复数的三角形式的乘积
下面，我们就可以一起探求两个三角形式的复数的乘积了。
设 z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) z_1=r_1(\cos\theta_1+\rm i\sin\theta_1) z1=r1(cosθ1+isinθ1)， z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_2=r_2(\cos\theta_2+\rm i\sin\theta_2) z2=r2(cosθ2+isinθ2)
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_1z_2=r_1r_2(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_1)(\cos\theta_2+\rm i\sin\theta_2) z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
= r 1 r 2 [ ( cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) + i ( sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ) ] \uad\ =r_1r_2[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+\rm i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)] =r1r2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]
再利用正余弦和角公式，就得到：
z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ] z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+\rm i\sin(\theta_1+\theta_2)] z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
这就是三角形式的复数乘法，是不是很简便？模长相乘，辐角相加，比代数形式的要好记吧。除法也是类似，模长相除，辐角相减就行。
至此我们就找到了复数相乘的几何意义。将 z 1 z_1 z1 的模长变成原来的 ∣ z 2 ∣ |z_2| ∣z2∣ 倍，并且旋转 θ 2 \theta_2 θ2，也就对应着放缩与旋转。
如果是两数乘积的特殊情况呢？当 z = z 1 = z 2 z=z_1=z_2 z=z1=z2 时， z 2 = r 2 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ) z^2=r^2(\cos2\theta+\rm i\sin2\theta) z2=r2(cos2θ+isin2θ)，再乘 z z z，就得到 z 3 = r 3 ( cos 3 θ + i sin 3 θ ) z^3=r^3(\cos3\theta+\rm i\sin3\theta) z3=r3(cos3θ+isin3θ)……
重复若干次，就有 z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) z^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta) zn=rn(cosnθ+isinnθ).
特别地，如果 z z z 在单位圆上 ( ∣ z ∣ = 1 ) (|z|=1) (∣z∣=1)，我们就能得到棣莫弗定理。
棣莫弗定理，是法国数学家棣莫弗创立的公式。 z n = ( cos n θ + i sin n θ ) . z^n=(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta). zn=(cosnθ+isinnθ).
相信大家已经能感觉到棣莫弗定理和单位圆有着十分密切的联系了，下篇文章，我们就要详细讲讲棣莫弗公式和单位根。
后话
好像课内也不要求掌握复数的三角式吧。但是，其实复数还有一些不同的形式。
指数形式： z = r e i θ z=re^{\rm i\theta} z=reiθ，应该是基于欧拉公式。
极坐标形式： z = r ∠ θ z=r\angle\theta z=r∠θ，不太了解，没学到（我初中）。
复数的奥秘远不止这些，留到下次再说。
参考：
辐角(数学术语) – 百度百科
复数 – 百度百科
复数（2）——复数的几何解释
《奥数教程（第七版）高中第二分册》
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/154468.html
