斯特林公式的详细推导

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0. 推导前置知识

• 无穷级数审敛法
• 第二重要极限
• 定积分意义
• $wallis$(点火)公式
• 泰勒展开

1. 证明一

该证明来自百度百科

令$a_n=\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}}$

则 $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{e}(1+\frac{1}{n}{)}^n(1+\frac{1}{n}{)}^{\frac{1}{2}}$

${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n+1}}>{\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{e}(1+\frac{1}{n}{)}^n=1$

即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$, ∃ N ∈ N + ， n > N : { a n } \exist N \in N_+，n \gt N:\{a_n\} ∃N∈N+​，n>N:{
an​}单调递减。

由积分放缩法我们可以得到

$\ln n!>\ln n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}=(n+\frac{1}{2})\ln n-n$

为不影响证明的大体逻辑和篇幅，对该不等式放在文章后面证明。

即$n!>n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}$，$a_n>1$

数列 { a n } \{a_n\} {
an​}单调递减有下界，${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$存在。

后续证明主要思路是用$wallis$乘积公式来凑$stiring$公式。

由$wallis$公式我们可以得到

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n!!{)}^2}{(2n+1!!)(2n-1!!)}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n!!{)}^2}{(2n+1)(2n-1!!{)}^2}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n!!)}{\sqrt{2n+1}(2n-1!!)}=\sqrt{\frac{\pi }{2}} \\ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\sim \sqrt{\frac{(2n+1)\pi }{2}}(n\to \infty ) \end{gathered}$$

我们容易得到

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n^2}{a_{2n}}$$
又
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n^2}{a_{2n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}\times \frac{(2n{)}^{2n+\frac{1}{2}}}{n^{2n+1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}\times \frac{2^{2n+\frac{1}{2}}}{\sqrt{n}}$$
容易得到下列等式
$$\begin{gathered} (2n)!!=2^n\times n! \\ n!=2^{-n}\times (2n)!! \\ (n!{)}^2=2^{-2n}\times [(2n)!!{]}^2 \\ (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!! \end{gathered}$$
则上式可化简为
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n^2}{a_{2n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^{-2n}\times [(2n)!!{]}^2}{(2n)!!\times (2n-1)!!}\times \frac{2^{2n+\frac{1}{2}}}{\sqrt{n}}= \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\times \sqrt{\frac{2}{n}} \end{gathered}$$
代入$wallis$公式得到
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n^2}{a_{2n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{(2n+1)\pi }{2}}\times \sqrt{\frac{2}{n}}= \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{2n+1}{n}}\times \sqrt{\pi }=\sqrt{2\pi } \end{gathered}$$
代入$a_n$化简可得到
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}\sqrt{2\pi }}=1 \\ n!\sim \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}(n\to \infty ) \end{gathered}$$

2. 证明二

${\lim }_{n\to \infty }\ln a_n$存在，${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$存在。

后续证明仍然是用$wallis$公式凑$stiring$，与证明一相同，

参考证明一在此略去。

3. 积分放缩法证明：$\ln n!>(n+\frac{1}{2})\ln n-n$

接下来我们用积分放缩法证明这个不等式，原证明链接在知乎

首先对于传统矩形放缩，对于单调递增的函数$f$在区间$[a,b],(b-a)\in N+$

容易得到下面的结论

$${\int }_{a-1}^{b}f(x)dx<\sum _{i=a}^{b}f(i)<{\int }_a^{b+1}f(x)dx$$

与传统的矩形放缩不同，我们这里进行的是梯形放缩。

还是将区间大小分为$1$， 对于区间$[p-1,p]$的单调递增凸函数$f$；

作$x=p$处$f$的切线。切线与$x=p-1,x=p,x$轴构成了梯形。

对于函数$f:\ln x$点$(P,\ln P)$处切线方程为

$y-\ln P=\frac{1}{P}(x-P)$

进而我们可以算出该区间的梯形面积为

$s=\ln P-\frac{1}{2P}$

区间$[1,n]$的$n-1$个梯形面积为

${\sum }_{k=2}^n\ln k-\frac{1}{2k}=\ln n!-\frac{1}{2}{\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k}$

$n-1$个梯形的面积和大于$\ln x$在$[1,n]$下方与$x$轴围城面积

$$\ln n!-\frac{1}{2}\sum _{k=2}^n\frac{1}{k}>{\int }_1^n\ln xdx$$
化简得到
$$\ln n!>n\ln n-n+1+\frac{1}{2}\sum _{k=2}^n\frac{1}{k}$$
根据重要极限${\lim }_{k\to \infty }(1+\frac{1}{k}{)}^k=e$得到
$$\frac{1}{k}\ge \ln (1+\frac{1}{k})$$
则
$$\ln n!>n\ln n-n+1+\frac{1}{2}\sum _{k=2}^n\ln (1+\frac{1}{k})$$
再次化简得到
$$\begin{gathered} \ln n!>n\ln n-n+1+\frac{1}{2}\sum _{k=2}^n\ln (\frac{1+k}{k}) \\ =n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln (n+1)+1-\frac{1}{2}\ln 2 \end{gathered}$$
又有
$$\frac{1}{2}\ln (n+1)+1-\frac{1}{2}\ln 2>\frac{1}{2}\ln (n+1)+0>\frac{1}{2}\ln n$$
最终得到
$$\ln n!>n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln n=(n+\frac{1}{2})\ln n-n$$

4. 符号

• 连乘：$\prod$与求和$\sum$类似，不同的是求积
  ${\prod }_{i=1}^{n}i=n!=1\times 2\cdots \times n$
  
• 双阶乘：$!!$与阶乘类似$!$只是隔一个数相乘
  $7!!=7\times 5\times 3\times 1$
  $6!!=6\times 4\times 2$
  
  

5. 参考