【现代控制】线性系统能控性判据

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下面的所有讨论都是以线性连续定常系统为前提。

一、能控性的定义

一个线性定常连续系统：
$$\dot{x}=AX+Bu$$
如果存在一个分段连续的输入$u(t)$,能在有限时间区间$[t_0,t_f]$内，使系统由某一初始状态$x(t_0)$,转移到指定的任一终端状态$x(t_f)$,则称此状态空间是能控的。如果系统的所有状态变量都能控，则称此系统是完全能控的。
简单的说，能控性就是看一个系统的输入能否影响系统的内部状态。

二、能控性判据

这里列出了四个较为常见的能控性判据的结论，结论证明的篇幅较长先不说明。

1.格拉姆矩阵判据

[结论] 连续时间线性时不变系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻$t_1$>0,使如下定义的格拉姆矩阵
$$W_e[0,t_1]:={\int }_0^{t_1}{e}^{-At}B{B}^T{e}^{-A^{T}t}dt$$为非奇异。

该判据具有理论意义，工程上并不会使用格拉姆矩阵判据。

2.秩判据

秩判据是利用格拉姆矩阵判据所推导出来的。
[结论] 对n维连续时间线性时不变系统，构造能控性判别矩阵:$$Q_c=\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \dots & A^{n-1}B\end{array}\right]$$那么系统完全能控的充分必要条件为
$$rank(Q_c)=rank(\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \dots & A^{n-1}B\end{array}\right])=n$$

3.PBH判据

[结论] 对n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为$$rank(sI-A,B)=n,$$或$$rank({\lambda }_{i}I-A,B)=n,i=1,2,\dots ,n$$
其中${\lambda }_i$为系统特征值。

4.约当规范形判据

由于约当规范形判据的结论比较抽象，在这里结合例子来说明约旦规范形判据的用法。

使用约旦规范形判据前需要将系统矩阵化为对角矩阵或约当矩阵。

【对角标准型判据】 当系统矩阵的特征值两两互异（系统矩阵可以化为对角矩阵）时，直接观察矩阵$\bar{B}$中有没有全零行向量，若没有则说明系统是完全能控的。
例1 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

直接观察矩阵$\bar{B}$，因为矩阵$\bar{B}$不包含全零行向量，因此系统完全能控。

例2 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

同样直接观察矩阵$\bar{B}$，可以看到矩阵$\bar{B}$的第二行是全零行向量，因此系统不完全能控。

【一般约旦标准型判据】 当系统矩阵的特征值为重根时或不能化为对角矩阵时，这时将其化为约当规范形：$$\dot{\hat{x}}=\hat{A}\hat{x}+\hat{B}u$$其中$$\hat{A}={\left[\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \dots & \\ & & & J_l\end{array}\right]}_{n\times n},\hat{B}={\left[\begin{array}{c}{\hat{B}}_1\\ {\hat{B}}_2\\ \dots \\ {\hat{B}}_l\end{array}\right]}_{n\times p}$$

由${\hat{B}}_{ik}(k=1,2,\dots a)$最后一行所组成的矩阵满足

则系统完全能观。

例3 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为$$\dot{\hat{x}}=\left[\begin{array}{ccccccc}-2& 1& & & & & \\ 0& -2& & & & & \\ & & -2& & & & \\ & & & -2& & & \\ & & & & 3& 1& \\ & & & & 0& 3& \\ & & & & & & 3\end{array}\right]\hat{x}+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$解： 由题可得,找出特征值-2对应的矩阵${\hat{B}}_{\sigma 1}$和特征值为3对应的矩阵${\hat{B}}_{\sigma 2}$，如下$${\hat{B}}_{\sigma 1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right],{\hat{B}}_{\sigma 2}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$
因为$$rank({\hat{B}}_{\sigma 1})=3,rank({\hat{B}}_{\sigma 2})=2$$
${\hat{B}}_{\sigma 1}$和${\hat{B}}_{\sigma 2}$都满秩,因此系统完全能控。

例4 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为$$\dot{\hat{x}}=\left[\begin{array}{ccccccc}-2& 1& & & & & \\ 0& -2& & & & & \\ & & -2& & & & \\ & & & -2& & & \\ & & & & 3& 1& \\ & & & & 0& 3& \\ & & & & & & 3\end{array}\right]\hat{x}+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$解： 由题可得,找出特征值-2对应的矩阵${\hat{B}}_{\sigma 1}$和特征值为3对应的矩阵${\hat{B}}_{\sigma 2}$，如下$${\hat{B}}_{\sigma 1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right],{\hat{B}}_{\sigma 2}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$
因为$$rank({\hat{B}}_{\sigma 1})=3,rank({\hat{B}}_{\sigma 2})=1<2$$
${\hat{B}}_{\sigma 2}$不满秩,因此系统不完全能控。

三、MATLAB仿真

在MATLAB中提供了求解系统能控性矩阵$Q_c$的函数（秩判据）：ctrb(A,B)。对于单输入单输出系统可以直接根据det(ctrb(A,B))是否为零来判断系统的能控性，或利用rank(ctrb(A,B))求出能控性矩阵$Q_c$的秩来判断系统的能控性。对于多输入多输出系统可以用det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)‘)是否为零来判断系统的能控性，或利用rank(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)求出能控性矩阵$Q_c$的秩来判断系统的能控性。

例1 已知线性定常系统的状态空间模型为$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\\ -2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right] \end{gathered}$$求解程序如下

clear all; A=[0 1；-1 -2]; B=[1 0；1 1]; n=size(B,1); Qc=ctrb(A,B); if rank(Qc)==n%判断能控性矩阵Qc是否列满秩 fprintf('系统完全能控\n') else fprintf('系统不完全能控\n') end 

运行结果：

Qc = 1 0 1 1 1 1 -3 -2 系统完全能控 

总结

利用matlab判断系统的能控性一般是利用秩判据。