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三维空间的坐标变换分为绕固定轴的旋转平移变换和绕动态轴的旋转平移变换，假设我们有1个全局坐标系A和1个局部坐标系B，Ａ为固定坐标系，Ｂ为动态坐标系，开始时两坐标系重合，对于局部坐标系B，其中有一点 p b p_b pb，我们求变换后 p b p_b pb在全局坐标系下的坐标 p a p_a pa，下面分别进行介绍：
绕固定轴的旋转平移变换
此时我们让局部坐标系Ｂ整体绕世界坐标系各轴依次旋转，根据旋转顺序的不同，共有６种方式，分别是ＸＹＺ，ＸＺＹ，ＹＸＺ，ＹＺＸ，ＺＸＹ，ＺＹＸ，我们分别求每种方式变换后， p b p_b pb在全局坐标系下的坐标 p a p_a pa。这里先分别介绍绕各轴旋转和平移对应的变换矩阵。
让局部坐标系B先绕全局坐标系A的X轴逆时针旋转 α \alpha α弧度，再沿着A坐标系的各轴分别平移 T x x ， T x y , T x z Tx_x，Tx_y,Tx_z Txx，Txy,Txz，则：
p a = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] p b + [ T x x T x y T x z ] = R x p b + T x p_a=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ 0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{matrix} \right] p_b+ \left[ \begin{matrix}Tx_x\\Tx_y\\Tx_z \end{matrix} \right]= R_x p_b+Tx pa=⎣⎡1000cos(α)sin(α)0−sin(α)cos(α)⎦⎤pb+⎣⎡TxxTxyTxz⎦⎤=Rxpb+Tx
让局部坐标系B先绕全局坐标系A的Ｙ轴逆时针旋转 β \beta β弧度，再沿着A坐标系的各轴分别平移 T y x ， T y y , T y z Ty_x，Ty_y,Ty_z Tyx，Tyy,Tyz，则：
p a = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] p b + [ T y x T y y T y z ] = R y p b + T y p_a=\left[ \begin{matrix} cos(\beta) & 0 & sin(\beta) \\ 0 & 1& 0 \\ -sin(\beta) &0 & cos(\beta) \end{matrix} \right] p_b+ \left[ \begin{matrix}Ty_x\\Ty_y\\Ty_z \end{matrix} \right]= R_y p_b+Ty pa=⎣⎡cos(β)0−sin(β)010sin(β)0cos(β)⎦⎤pb+⎣⎡TyxTyyTyz⎦⎤=Rypb+Ty
让局部坐标系B先绕全局坐标系A的Z轴逆时针旋转 γ \gamma γ弧度，再沿着A坐标系的各轴分别平移 T z x ， T z y , T z z Tz_x，Tz_y,Tz_z Tzx，Tzy,Tzz，则：
p a = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] p b + [ T z x T z y T z z ] = R z p b + T z p_a=\left[ \begin{matrix} cos(\gamma) & -sin(\gamma) & 0 \\sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] p_b+ \left[ \begin{matrix}Tz_x\\Tz_y\\Tz_z \end{matrix} \right]= R_z p_b+Tz pa=⎣⎡cos(γ)sin(γ)0−sin(γ)cos(γ)0001⎦⎤pb+⎣⎡TzxTzyTzz⎦⎤=Rzpb+Tz
ＸＹＺ变换方式
Ｘ Z Y变换方式
ＹＸＺ变换方式
ＹＺＸ变换方式
ＺＸＹ变换方式
ＺＹＸ变换方式
绕动态轴的旋转平移变换
此时我们让局部坐标系Ｂ整体绕自身坐标系的各个轴依次旋转和平移，由于自身坐标系姿态是随着每一步的旋转和平移发生变化的，故称为绕动态轴的旋转平移变换，同样，根据旋转顺序的不同，共有６种方式，分别是ＸＹＺ，ＸＺＹ，ＹＸＺ，ＹＺＸ，ＺＸＹ，ＺＹＸ，我们分别求每种方式变换后， p b p_b pb在全局坐标系下的坐标 p a p_a pa。这里先分别介绍绕各轴旋转和平移对应的变换矩阵。
让局部坐标系B先绕自身坐标系的X轴逆时针旋转 α \alpha α弧度，再沿着旋转后的坐标系的各轴分别平移 T x x ， T x y , T x z Tx_x，Tx_y,Tx_z Txx，Txy,Txz，则：
p a = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] ( p b + [ T x x T x y T x z ] ) = R x ( p b + T x ) p_a=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ 0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{matrix} \right]( p_b+ \left[ \begin{matrix}Tx_x\\Tx_y\\Tx_z \end{matrix} \right])= R_x ( p_b+Tx) pa=⎣⎡1000cos(α)sin(α)0−sin(α)cos(α)⎦⎤(pb+⎣⎡TxxTxyTxz⎦⎤)=Rx(pb+Tx)
让局部坐标系B先绕自身坐标系的Ｙ轴逆时针旋转 β \beta β弧度，再沿着旋转后的坐标系的各轴分别平移 T y x ， T y y , T y z Ty_x，Ty_y,Ty_z Tyx，Tyy,Tyz，则：
p a = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] ( p b + [ T y x T y y T y z ] ) = R y ( p b + T y ) p_a=\left[ \begin{matrix} cos(\beta) & 0 & sin(\beta) \\ 0 & 1& 0 \\ -sin(\beta) &0 & cos(\beta) \end{matrix} \right] (p_b+ \left[ \begin{matrix}Ty_x\\Ty_y\\Ty_z \end{matrix} \right])= R_y (p_b+Ty) pa=⎣⎡cos(β)0−sin(β)010sin(β)0cos(β)⎦⎤(pb+⎣⎡TyxTyyTyz⎦⎤)=Ry(pb+Ty)
让局部坐标系B先绕自身坐标系的Z轴逆时针旋转 γ \gamma γ弧度，再沿着旋转后的坐标系的各轴分别平移 T z x ， T z y , T z z Tz_x，Tz_y,Tz_z Tzx，Tzy,Tzz，则：
p a = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] ( p b + [ T z x T z y T z z ] ) = R z ( p b + T z ) p_a=\left[ \begin{matrix} cos(\gamma) & -sin(\gamma) & 0 \\sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]( p_b+ \left[ \begin{matrix}Tz_x\\Tz_y\\Tz_z \end{matrix} \right])= R_z (p_b+Tz) pa=⎣⎡cos(γ)sin(γ)0−sin(γ)cos(γ)0001⎦⎤(pb+⎣⎡TzxTzyTzz⎦⎤)=Rz(pb+Tz)
X YＺ变换方式
X Z Y变换方式
ＹＸＺ变换方式
ＹZ X变换方式
ＺＸＹ变换方式
ＺY X变换方式
综上，对于绕固定轴旋转平移后的变换，我们采用左乘法则结合，对于绕动态轴旋转平移后的变换，我们采用右乘法则结合，不同的旋转和平移顺序将对应不同的旋转和平移向量。当给定一个旋转和平移的顺序后，我们可以根据上面的式子求出局部坐标系中的点在全局坐标系中的坐标。
应用
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