概率论：先验与后验与似然

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1.我自己的理解

    1.1 从时间角度理解：

    a.先验：根据以往的经验或者常识，总结当前事情发生某种结果的概率，又或者说是没有根据当前的事实，而只是对以往理论的研究进行推导，类似于选举中，专家在没有对当前大选进行调查就直接通过以往历任候选人的特点来分析推导给出当前的某人A中选的概率。

    b.后验：根据当前的事情的观察（证据、原因），推断分析当前事情发生某种结果的概率，如上例子，即专家根据当前的民意调查作出推导，然后给出某人A中选的概率；

   c.似然：根据当前事情发生的某种结果，反推之前的经验（证据)对当前结果发生的关联程度（也叫相似所以必然发生的最大可能性）是一种拟合程度；即以上例子中：推导大选的思维模式可能本质性相同，即看到的属性特征和分析方向一模一样，只是因为属性的不同给出了不一样的概率拟合过程；

 （材料依据：概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。(王翠香编．概率统计：北京大学出版社，2010)）

举例：

例1：下雨：出门，某地方突然乌云密布

          先验：根据以往的经验或者常识，这个地方下雨的概率为：1%；

          后验：根据当前的情况，天上乌云密布，下雨概率：（当前时刻自我推断）:50%

          (有个疑惑：推断的逻辑分析过程不是也是来自过往经验的总结和学习吗？也就是说你能推断出乌云密布会下雨是因为你学过或者遇到过乌云密布会下雨的逻辑情况)

         那么似然就出现了；

         个人理解：似然就是在这之间构建总结与学习的逻辑链条；

           似然：   针对当前情况：下雨（结果）的时候有乌云（观察的证据或者表象数据），那么其内在逻辑在于乌云会有下雨可能，那么如何分析与表述   这种证据和结果发生的可能性？那么就用“似然”来说明。怎么说明？就是对于证据本身的固有属性与结果的关联关系的拟合性表述；

         乌云密布是一个属性，少量云也是一个属性，晴空万里也是一个属性；

         那么对于这些属性哪个跟下雨关联性最大？这就是似然存在意义，即通过推导属性和下雨的关联性，来描述出其最大的可能性；所以才会有之后的最大似然估计和贝叶斯公式；

         那么从上面的话就能轻松理解下面的贝叶斯公式了：

         后验概率：P（瓜熟 | 已知蒂落）=P（瓜熟）×P（蒂落 | 瓜熟）/ P（蒂落）；

         似然函数：L（瓜熟 | 已知蒂落）

         这里可以加入一个理解：先验概率可理解为统计概率，后验概率可理解为条件概率。

例2：（方便理解似然）

             首先是维基百科上的原话： 

             其次，是我的理解：首先从当前时刻而言，已知A事情已经发生了，我们需要求得的是参数B的可能性大小，即如何去估计这个值，似然就是提供这种方法；

              然后是维基百科例子：

              可以看到，这里的当前时刻，硬币投了两次，也就是发生的事情为投两次（0.25的概率），我们需要求得是关于当前参数Ph的可能性大小（数值就是概率）；复述：即我们知道了事件A（投币两次）发生了情况下，需要求得在当前时刻，参数Ph=0.5这种参数情况下的一个可能性，也就是对PH=0.5这个参数本身的一个拟合估计。也就是对一个事情本身的性质进行拟合估计；

也就是你大表弟泡到妹子了，然后你要推算大表弟因为什么属性能泡到妹子的概率时，你是在对你大表弟很帅（或者有钱）这个属性进行概率估计，而不是对于能不能泡到妹子进行估计；所以你更多在考虑他帅（或者有钱）的属性对事情的影响有多大，而不是泡到妞这件事本身发生的概率。

———————————————–》以下为资料：

2、网上有个例子说的透彻：

1）先验——根据若干年的统计（经验）或者气候（常识），某地方下雨的概率；

2）似然——下雨（果）的时候有乌云（因/证据/观察的数据）的概率，即已经有了果，对证据发生的可能性描述；

3）后验——根据天上有乌云（原因或者证据/观察数据），下雨（结果）的概率；

后验 ~ 先验*似然 ： 存在下雨的可能（先验），下雨之前会有乌云（似然）~ 通过现在有乌云推断下雨概率（后验）；

3、再来一例：

先验概率可理解为统计概率，后验概率可理解为条件概率。

先验概率，就是常识、经验所透露出的“因”的概率，即瓜熟的概率。应该很清楚。

后验概率，就是在知道“果”之后，去推测“因”的概率，也就是说，如果已经知道瓜蒂脱落，那么瓜熟的概率是多少。后验和先验的关系可以通过贝叶斯公式来求。也就是：

P（瓜熟 | 已知蒂落）=P（瓜熟）×P（蒂落 | 瓜熟）/ P（蒂落）

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再扯一扯似然函数和条件概率的关系。似然函数就是条件概率的逆反。意为：

L（瓜熟 | 已知蒂落）= C × P（蒂落 | 瓜熟），C是常数。具体来说，现在有1000个瓜熟了，落了800个，那条件概率是0.8。那我也可以说，这1000个瓜都熟的可能性是0.8C。

注意，之所以加个常数项，是因为似然函数的具体值没有意义，只有看它的相对大小或者两个似然值的比率才有意义，后面还有例子。

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同理，如果理解上面的意义，分布就是一“串”概率。

先验分布：现在常识不但告诉我们瓜熟的概率，也说明了瓜青、瓜烂的概率

后验分布：在知道蒂落之后，瓜青、瓜熟、瓜烂的概率都是多少

似然函数：在知道蒂落的情形下，如果以瓜青为必然属性，它的可能性是多少？如果以瓜熟为必然属性，它的可能性是多少？如果以瓜烂为必然属性，它的可能性是多少？似然函数不是分布，只是对上述三种情形下各自的可能性描述。

那么我们把这三者结合起来，就可以得到：后验分布 正比于 先验分布 × 似然函数。先验就是设定一种情形，似然就是看这种情形下发生的可能性，两者合起来就是后验的概率。

至于似然估计：

就是不管先验和后验那一套，只看似然函数，现在蒂落了，可能有瓜青、瓜熟、瓜烂，这三种情况都有个似然值（L（瓜青）：0.6、L（瓜熟）：0.8、L（瓜烂）：0.7），我们采用最大的那个，即瓜熟，这个时候假定瓜熟为必然属性是最有可能的。

5、分布解：

二：从概率论角度理解（待续）

        2.1

         2.1.1似然函数是什么？怎么理解？如何延伸与应用？

        2.2脑洞：

        概率论：先验与后验与似然

          原作者对概率论的发生的质疑：资料如下所示；我们本身做事情的概率由前面事情所影响，又由于事情本身的固有属性而推导其本质的概率，但是在本质发生的概率下如：抛硬币概率整体为0.5，但是前一百次全部出现正面，那么就101次由于整体概率的影响，哪怕微乎其微，（但是不可忽略），这101次究竟是大于0.5还是小于0.5？

———–资料：

关于“抛硬币”试验的概率问题。

问题是这样的：1、多次抛硬币首先是一个贝努利试验，独立同分布的

2、每次抛硬币出现正、反面的概率都是1/2

3、当然硬币是均匀同分布的，而且每次试验都是公正的