007比力方程

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一、相关符号及概念的描述

1、比力$\vec{f}$（specific force）：单位质量上作用的非引力的外力，用公式表示为$\vec{f}=\frac{\vec{F}}{m}$。在我的理解中，一直都把比力当作加速度计测量的加速度。
2、地心惯性系（i系）、地球坐标系(e系)、理想平台坐标系(T系，导航坐标系的无误差复现)
3、$\vec{R}$表示地心至T系的支点引的位置矢量，可以认为是地心至T系原点（即机体中心）的连线矢量。
4、$\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_i$表示矢量$\vec{R}$相对于i系对时间的一阶导数，即机体相对于i系的速度。
5、$\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_e$表示矢量$\vec{R}$相对于e系对时间的一阶导数，即机体相对于e系的速度，或者机体相对于地球的运动速度，即地速，记为${\vec{V}}_{eT}$。
6、${\vec{\omega }}_{ie}$表示e系相对于i系的转动角速度，实际就是地球的自转角速度矢量，是一个常矢量。其他的矢量$\vec{\omega }$表示意义同理。
7、$m\vec{G}$表示质量$m$所受地球的万有引力，方向指向地心。
8、$\vec{G}$表示引力加速度。
9、$m\vec{g}$表示质量$m$所受的重力，方向垂直于地面向下。
10、$\vec{g}$表示重力加速度。
11、${\vec{F}}_c$表示维持质量$m$跟随地球旋转的向心力，实质为万有引力分量。

二、公式铺垫

1、万有引力

如图所示，显然：
$$m\vec{G}=m\vec{g}+{\vec{F}}_c$$
故
$$\vec{G}=\vec{g}+{\vec{a}}_c\text{\hspace{1em}(1)}$$

2、加速度

设平台上加速度计质量块的质量为$m$，其受到的力为非引力外力$\vec{F}$和地球引力$m\vec{G}$，根据牛顿第二定律：
$$\vec{F}+m\vec{G}=m\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i$$
所以：
$$\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i=\vec{f}+\vec{G}\text{\hspace{1em}(2)}$$

三、比力方程的推导

通过公式$(2)$可以看出，表示出比力$\vec{f}$必须要求得$\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i$和$\vec{G}$。首先求$\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i$，即机体相对于i系的加速度，我们首先求机体相对于i系的速度$\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_i$。
根据哥氏定理可得：
$$\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_i=\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_e+{\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R}$$
即：
$$\frac{d\vec{R}}{dt}{|}_i={\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R}\text{\hspace{1em}(3)}$$
注：对于哥氏定理不清楚的可以参考006哥氏定理.
再次解释一下，该公式表示：机体相对于i系的速度等于机体相对于e系的速度加上牵连点的速度。
对上式再次求导，可得：
$$\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i=\frac{d}{dt}{|}_i({\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_i+\frac{d}{dt}{|}_i({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})\text{\hspace{1em}(4)}$$

公式$(4)$右边第一部分再次利用哥氏定理得：

$$\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_i=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+{\vec{\omega }}_{iT}\times {\vec{V}}_{eT}$$
其中，${\vec{\omega }}_{iT}={\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT}$，这表示T系相对于i系的角速度等于e系相对于i系的角速度与T系相对于e系角速度之和。
即：
$$\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_i=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+({\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+{\vec{\omega }}_{ie}\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{eT}\times {\vec{V}}_{eT}\text{\hspace{1em}(5)}$$

公式(4)右边第二部分：

由于${\vec{\omega }}_{ie}$是一个常矢量，所以可得：
$$\frac{d}{dt}{|}_i({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})={\vec{\omega }}_{ie}\times \frac{d}{dt}{|}_i(\vec{R})={\vec{\omega }}_{ie}\times \frac{d\vec{R}}{dt}{|}_i$$
将公式$(3)$代入可得：
$$\frac{d}{dt}{|}_i({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})={\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})={\vec{\omega }}_{ie}\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})\text{\hspace{1em}(6)}$$

将公式$(5)$和公式$(6)$代入公式$(4)$可得：

$$\frac{d^2\vec{R}}{d{t}^2}{|}_i=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+{\vec{\omega }}_{ie}\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{eT}\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})$$
$$=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+(2{\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})\text{\hspace{1em}(7)}$$

将公式(2)代入公式(7)可得：

$$\vec{f}+\vec{G}=\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T+(2{\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}+{\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})$$
即：

$$\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T=\vec{f}-(2{\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}+\vec{G}-{\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})\text{\hspace{1em}(8)}$$
下面还要看一个图：

在这个图中，动点为S，矢量$\vec{R}$如上文定义。
角速度${\vec{\omega }}_{ie}$方向如图所示。
这样，根据右手规则，线速度${\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R}$如图所示（搞错线速度方向的同学请注意两矢量的方向）。
那么${\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})$得到向心加速度，根据右手法则方向指向地轴。
令：
$${\vec{a}}_c={\vec{\omega }}_{ie}\times ({\vec{\omega }}_{ie}\times \vec{R})\text{\hspace{1em}(9)}$$
将$(9)$代入$(8)$得：
$$\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T=\vec{f}-(2{\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}+\vec{G}-{\vec{a}}_c\text{\hspace{1em}(10)}$$
再将$(1)$代入$(10)$得：
$$\frac{d{\vec{V}}_{eT}}{dt}{|}_T=\vec{f}-(2{\vec{\omega }}_{ie}+{\vec{\omega }}_{eT})\times {\vec{V}}_{eT}+\vec{g}$$

该公式即为比力方程。关于比力方程就不再多做介绍。