数学基础 — 线性代数正交多项式之勒让德多项式展开推导

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

勒让德多项式展开的详细过程

勒让德多项式是一类在区间 $[-1,1]$ 上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数 $a_n$ 的详细过程。

1. 勒让德展开的基本假设

给定一个函数 $f(x)$，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{P}_n(x),$$
其中 $P_n(x)$ 是第 $n$ 阶勒让德多项式，$a_n$ 是对应的展开系数。

我们的目标是找到每个 $a_n$ 的值。为了做到这一点，我们将利用勒让德多项式的 正交性。

2. 勒让德多项式的正交性

勒让德多项式在区间 $[-1,1]$ 上满足正交性关系：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx=0,\text{当}n\ne m.$$
这意味着如果 $n\ne m$，那么 $P_n(x)$ 和 $P_m(x)$ 的内积为零。

当 $n=m$ 时，有：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x{)}^{2}dx=\frac{2}{2n+1}.$$

3. 推导勒让德展开系数 $a_n$

为了推导勒让德展开系数 $a_n$，我们可以按照以下步骤进行：

步骤 1：将函数 $f(x)$ 表示为勒让德多项式的线性组合

假设函数 $f(x)$ 可以表示为勒让德多项式的展开：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{P}_n(x).$$
我们需要找到每个 $a_n$ 的值。

步骤 2：将方程两边乘以 $P_n(x)$ 并积分

为了提取每个勒让德多项式的系数 $a_n$，我们将方程两边乘以 $P_n(x)$，然后在区间 $[-1,1]$ 上对 $x$ 进行积分：
$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx={\int }_{-1}^1\left(\sum _{m=0}^{\infty }{a}_m{P}_m(x)\right)P_n(x)dx.$$
这里我们对 $f(x)$ 乘上了勒让德多项式 $P_n(x)$ 并积分。

步骤 3：利用勒让德多项式的正交性

步骤 4：使用勒让德多项式的归一化公式

步骤 5：解出勒让德系数 $a_n$

通过将上式除以 $\frac{2}{2n+1}$，我们可以得到勒让德系数 $a_n$：
$$a_n=\frac{2n+1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx.$$

4. 实例：计算 $f(x)=x^2$ 的勒让德展开

让我们通过具体函数 $f(x)=x^2$ 来展示如何计算勒让德展开系数。

计算 $a_0$

计算 $a_1$

计算 $a_2$

5. 总结

通过详细的推导，我们得到了函数 $f(x)=x^2$ 在勒让德多项式基底上的展开系数：

• $a_0=\frac{1}{3}$
• $a_1=0$
• $a_2=\frac{2}{3}$

因此，函数 $f(x)=x^2$ 可以表示为勒让德多项式的线性组合：
$$f(x)=\frac{1}{3}{P}_0(x)+\frac{2}{3}{P}_2(x).$$
代入勒让德多项式的具体表达式：
$$f(x)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(3x^2-1)=x^2.$$

这个过程展示了如何利用勒让德多项式的正交性来计算展开系数，并将函数表示为勒让德多项式的线性组合。