代数学笔记1: 域扩张(一)

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前言

最近刚开始学代数学这门课,就深深感觉自己的高等代数知识不够用了, 本科就没好好学多项式部分, 导致现在老师说什么都很懵(老师说域扩张和尺规作图部分比较独立,就先讲了😢).

不说了, 简单复习(预习)一下, 介绍域扩张的基本概念, 里面包含一些课后练习与解答(如有不对还请多多指正).

P.S. 本文大多数知识点只介绍概念与用法, 难免会有疏漏, 如果想深入学习还研读参考文献.

预备知识

高等代数

关于高代的复习我主要参考了丘维声教授的高等代数创新教材, 里面的知识点很丰富,例题也足够多, 适合作为自学教材.

主要的知识点就是关于多项式部分, 即复数域/实数域/有理数域上的不可约多项式, 还有整除的一些性质, 互素的性质, 以及辗转相除法这些基本概念都需要牢牢掌握.

辗转相除法

引理 在$K[x]$中, 若
$$f(x)=h(x)g(x)+r(x),$$
成立, 则有
$$(f(x),g(x))=(g(x),r(x)),$$
其中$(f(x),g(x))$表示首一最大公因式(monic greatest common factor).

定理 对$K[x]$中的任意两个多项式$f(x),g(x)$, 存在它们的一个最大公因式$d(x)$, 且存在$u(x),v(x)\in K[x]$, 使得
$$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).$$

例题

求出多项式$u(x),v(x)$使得:
$$(x^3-x-1)u(x)+(x^2-x+1)v(x)=1$$

不可约多项式

定义 对于$K[x]$中一个次数大于0的多项式$f(x)$来说, 如果它在$K[x]$中的因式只有$K$中的非零数和$f(x)$的相伴元$g(x)$(当且仅当存在$c\in K^{\ast }$, 使得$f(x)=cg(x)$, 则称$f(x)$是数域$K$上的一个不可约多项式(irreducible polynomial).

定理(整系数多项式的有理根判定) 设
$$f(x)=a_n{x}^n+an-1x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
是一个次数$n(n>0)$ 整系数多项式, 如果$\frac{q}{p}$是$f(x)$的一个有理根, 其中$p,q$是互素的整数, 那么$p|a_n,q|a_0$.

定理(Eisenstein判别法) 设
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
是一个次数$n(n>0)$的本原多项式(多项式各项系数的最大公因数只有$\pm 1$). 如果存在素数$p$使得

1. $p|a_i,i=0,1\cdots ,n-1$;
2. $p\nmid a_n$;
3. $p^2\nmid a_0$,

那么$f(x)$在$\mathbb{Q}$上不可约.

例题

证明: $x^3-x-1$为有理数域上的$3$次不可约多项式.

证明:

设$f(x)=x^3-x-1$, 则$\mathrm{deg}f(x)=3$, 三次整系数多项式在$\mathbb{Q}$上不可约当且仅当它没有有理根, 对$f(x)$, 其有理根只可能是$\pm 1$, 而显然$f(1)=-1\ne 0$, $f(-1)=-1\ne 0$, 所以$f(x)$是有理数域上的3次不可约多项式.

重因式

定义 $K[x]$中, 不可约多项式$p(x)$称为$f(x)$的 $k$重因式, 如果$p^k(x)|f(x)$, 而$p^{k+1}(x)\nmid f(x)$.

定理 不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的一个重因式, 当且仅当$p(x)$是$f(x)$与$f^{\prime }(x)$的一个公因式.

例题

证明: 有理数域上多项式$x^n-1$没有重因子.

证明:

设$f(x)=x^n-1$, 则$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$, 显然$(f(x),f^{\prime }(x))=(x^n-1,n{x}^{n-1})=1$, 所以有理数域上$x^n-1$没有重因子.

抽象代数

抽代这部分虽然学了不久, 但是只是浅尝辄止, 想深入了解Galois理论, 深入代数学的本质, 还是要对群环域的基本概念和主要性质有所了解, 不过第一部分域扩张用到的抽象代数还不多, 这里先简单介绍一下环和域的一些概念, 以方便下面的介绍.

环

定义 对于一个非空集合$R$, 其上定义了两种代数运算称为加法和乘法, 且满足以下六条运算法则:

1. 加法交换律: $a+b=b+a,\forall a,b\in R$;
2. 加法结合律: $(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in R$;
3. 有零元: $R$中存在一元素(记为$0$)满足: $a+0=0+a=0,\forall a\in R$;
4. 有负元: $\forall a\in R$, 有$b\in R$使得: $a+b=b+a=0$, 称$b$为$a$的负元;
5. 乘法结合律: $(ab)c=a(bc),\forall a,b,c\in R$;
6. 左右分配律:
   • $a(b+c)=ab+ac,\forall a,b,c\in R$(左分配律);
   • $(b+c)a=ba+ca,\forall a,b,c\in R$(右分配律);

则称$R$是一个环.

域

定义 设$F$是一个有单位元$e(e\ne 0)$的交换环, 若$F$中每一个非零元都是可逆元, 则称$F$是一个域.

域扩张内容引入

• 多项式$f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0\in K[x]$, 它的根: 如何找到数$x_i$使得$f(x_i)=0$.
• 首先$f(x)=a_n{p_1}^{r_1}\cdots {p_s}^{r_s}$是$f$在$K[x]$的唯一因子分解, 方程$f(x)=0$等价于$p_1(x)=0$, $p_2(x)=0,\cdots$, 或者$p_s(x)=0$。以后常假定$f$是不可约多项式。
• 如果$f$是不可约多项式：
  • $\mathrm{deg}(f)=1$, 则$x=-a_0/a_1$.
  • $\mathrm{deg}(f)>1$, 则$f$在$K[x]$中无一次因子, 所以每一个数$a\in K$都不是方程$f(x)=0$的根.
• 它的根均不在$K$上, 而在更大的域$L$中。所以我们要考虑域扩张。

域扩张的基本概念与定理

域扩张

定义 $K,L$是两个域，且$K$是$L$的子集，则称$K$是$L$的子域， $L$ 是$K$的扩域，$L/K$是一个域扩张。

在不考虑$L$中的任意两个数的乘积，只考虑$L$中的任意两个数的加法，和$L$中的任意元素与$K$中元素的乘法， $L$是域$K$上的线性空间。

扩张次数(维数): 记为$[L:K]$, 或者${\dim }_K(L)$.

维数公式 三个域有包含关系$K\subset L\subset E$, 则其维数(扩张次数)满足
$$[E:K]=[E:L][L:K].$$

极小多项式 设$\alpha$是某个首一整系数多项式的复根, 令

J α = { f ( x ) ∈ Q [ x ] ∣ f ( α ) = 0 } , J_\alpha=\{f(x)\in\mathbb{Q}[x]|f(\alpha)=0\}, Jα​={
f(x)∈Q[x]∣f(α)=0},

把$J_{\alpha }$中次数最低的首项系数为1的多项式称为$\alpha$在$\mathbb{Q}$上的极小多项式(最小多项式). 显然极小多项式为$\mathbb{Q}$上的不可约多项式.

有限次域扩张的一个例子(二次域扩张)

设$[L:K]=n$，设$\alpha \in L\setminus K,1,\alpha ,\cdots {\alpha }^{n-1}$是一组基。

$L$中的元素${\beta }_1=k_1+k_2\alpha +\cdots +k_n{\alpha }^{n-1}=f_1(\alpha ),{\beta }_2=f_2(\alpha )$, 这里$f_1,f_2$是$K[x]$两个次数不超过$n-1$的多项式。

定义：${\beta }_1+{\beta }_2=(f_1+f_2)(\alpha );{\beta }_1{\beta }_2=(f_1{f}_2\mathrm{mod}p)(\alpha )$.

例题

这部分内容的习题主要是围绕极小多项式而言的, 对于极小多项式求其扩域的扩张次数, 基底以及某一元素在该组基底下的坐标, 都是必须要掌握的内容.

1. $x^3-3x-1$为有理数域上的$3$次不可约多项式, $\alpha$为该多项式在复数域上的一根, 求出$\frac{\alpha +1}{\alpha +2}$在这基$(1,\alpha ,{\alpha }^2)$下的坐标.
   

   显然, 对于$\alpha$, 有${\alpha }^3-3\alpha -1=0$成立, 并且该式可以表示为
   $${\alpha }^3-3\alpha -1=(\alpha +2)({\alpha }^2-2\alpha +1)-3=0$$
   所以
   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{\alpha +2}& =\frac{{\alpha }^2-2\alpha +1}{3}\\ \Rightarrow \frac{\alpha +1}{\alpha +2}& =\frac{({\alpha }^2-2\alpha +1)(\alpha +1)}{3}=\frac{-1}{3}{\alpha }^2+\frac{2}{3}\alpha +\frac{2}{3}\end{array}$$
   于是其坐标为$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$.
   
   
   
   

2. $p(x)=x^3-2$ (另$x^3-x-1$)是有理数域上的三次不可约多项式在复数域上有三个复根$\alpha ,\beta ,\gamma$。
   • 问题1：$Q[\alpha ]/Q$的扩张次数，基底，并求出元素$(1+\alpha )/(1+{\alpha }^2)$在这组基底下坐标。
   • 问题2：$Q[\alpha ]$与$Q[\beta ]$的关系？
   • 问题3：如何求出$Q[\alpha ,\beta ,\gamma ]/Q$的扩张次数，基底等。

   1. (待定系数法)显然$[Q(\alpha ):Q]=3$, 对$p(x)=x^3-2$, 其一组基为$1,\alpha ,{\alpha }^2$, 设$\beta =(1+\alpha )/(1+{\alpha }^2)=a+b\alpha +c{\alpha }^2,a,b,c\in \mathbb{Q}$, 则显然有
      $$(1+{\alpha }^2)(a+b\alpha +c{\alpha }^2)=1+\alpha$$
      展开后合并同类项(注意这里需要应用条件${\alpha }^3-2=0$), 即可得到:
      $$(a+c){\alpha }^2+(2c+b-1)\alpha +(a+2b-1)=0$$
      解如下三元一次方程组
      $$\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 2c+b=1\\ a+2b=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{5}\\ b=\frac{3}{5}\\ c=\frac{1}{5}\end{array}$$
      得到$(1+\alpha )/(1+{\alpha }^2)$在这组基底下的坐标为$(-\frac{1}{5},\frac{3}{5},\frac{1}{5})$.

      对于$p(x)=x^3-x-1$可类似得到
      $$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 2b+c=1\\ a+2c=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{5}\\ b=\frac{3}{5}\\ c=-\frac{1}{5}\end{array}$$
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      

      坐标为$(\frac{2}{5},\frac{3}{5},-\frac{1}{5})$.

   2. $Q[\alpha ]$与$Q[\beta ]$同构.
   3. $Q[\alpha ,\beta ,\gamma ]/Q$的扩张次数均为6, 由扩域的维数公式可得其扩张次数为3或6,但是其判别式均非平方数, 所以为6.

   这里再介绍一下第一小问的另一种做法, 就是通过辗转相除法, 找到多项式的逆元, 具体步骤如下:

   欲求出坐标, 其主要问题在于分母上的$1+{\alpha }^2$项, 这就是说需要计算$(1+{\alpha }^2{)}^{-1}$的表示, 由此可以利用辗转相除法, 得到:
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{x}^3-2& =x(x^2+1)+(-x-2)\\ x^2+1& =-x(-x-2)+(-2x+1)\\ -x-2& =\frac{1}{2}(-2x+1)-\frac{5}{2}\end{array}\Rightarrow \\ -\frac{5}{2}=(1-\frac{1}{2}x)(x^3-2)+(-x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}^2)(x^2+1) \end{gathered}$$
   于是
   $$(1+x)(\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}{x}^2)=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}{x}^2$$
   同样可得坐标为$(-\frac{1}{5},\frac{3}{5},\frac{1}{5})$.
   
   
   
   

应用:尺规作图的判断

一个简单的例子

对于$20^{\circ }$角的尺规作图画法, 若利用$60^{\circ }$角的三等分, 无法做出.

理由: 在直角坐标系中, 每一个点均可以以极坐标的形式表出$(\cos \theta ,\sin \theta )$, 在单位圆上, 每一个角度均可以这样表示.

构造扩域链

$$E_0=Q\subseteq E_1=E_0(x_1,y_1)\subseteq \dots \subseteq E_n=E_{(}n-1)(x_n,y_n)$$

根据尺规作图的三种情况(两直线相交,直线和圆相交,圆和圆相交), 易得$[E_i:E_{i-1}]=1or2$,

如果得到了$20^{\circ }$, 则由$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$, 知道$4x^3-3x-0.5=0$为有理数域上的三次不可约多项式, 其扩域$Q[\alpha ]/Q$的扩张次数为3, 但是
$$2^s\ne 3t$$
所以不可能通过有限次的尺规作图绘制出$20^{\circ }$角.

Reference

1. 《高等代数创新教材（下）》（丘维声）;
2. 《数学的思维方式与创新》（丘维声）;
3. 《抽象代数基础》（姚慕生）;
4. PPT: 域扩张与尺规作图 ;
5. 《代数学》（游宏，刘文德）;
6. 《Fields and Galois Theory》, J.S. Milne.