二三、A转置乘以A可逆

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如果矩阵A的列向量线性无关，那么A转置乘以A可逆

证明：

假设矩阵A为：

$\underset{n \times k}{\mathbf{A}}=\begin{bmatrix} | & | & \cdots & | \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ | & | & \cdots & | \end{bmatrix}$

1. 如果矩阵A的列向量线性无关，那么：

$x_1 \vec{a}_1 + x_2 \vec{a}_2 + \cdots + x_k \vec{a}_k = 0$

时

$x_1, x_2, \cdots, x_k$

都等于0，即：

$A\vec{x} = \vec{0}$

时，向量x为零，即矩阵A的零空间仅包含0向量

2. A转置乘以A的零空间

假设向量v为（A转置乘以A）的零空间中的任一向量：

$\underset{k \times k}{A^TA} \vec{v} = \vec{0}$

$\vec{v}^T A^TA \vec{v} = \vec{v}^T \vec{0}$

$(A \vec{v})^T A \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{0}$

$(A \vec{v}) \cdot (A \vec{v}) = 0$

$A \vec{v} = \vec{0}$

因此，向量v又是矩阵A的零空间中的元素，故向量v等于0向量，因此（A转置乘以A）的列向量线性无关

3. A转置乘以A为方阵

因为A转置乘以A的列向量线性无关，且为方阵，所以可逆

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二三、A转置乘以A可逆

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