哥德尔不完备定理 —— 奠定了计算机与 AI 的理论基础

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哥德尔不完备定理(Godel‘s Incompleteness Theorem)

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是指库尔特・哥德尔于 1931 年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。

这条定理是在数学界以外最著名的定理之一，也是误解最多的定理之一。它是形式逻辑中的定理，所以容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的一些误解。

把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出：

任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫・希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的兼容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的兼容性都可以归结为基本算术的兼容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的兼容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的兼容性了。

哥德尔不完备定理的证明

第一不完备定理的证明要点

要充实对证明要点的描述，主要的问题在于：为了构造相当于 “p 是不可证明的” 这样的命题 p，p 就必须包含有自身的引用，而这很容易陷入无穷循环。将要介绍的哥德尔巧妙的把戏，后来被艾伦・图灵用于解决决定性问题。

首先，每个公式或者说可形式化的命题都被我们的系统赋予一个唯一的数，称为哥德尔数。这要通过一种可以方便地在哥德尔数和公式之间（机械地）来回转换的方式来完成。因为系统足以表述 “数” 的概念，因此也就足以表述公式的概念了。公式可以为命题形式、命题或其他。命题形式的哥德尔数数值不同于命题的哥德尔数数值。

像 F (x) 这样的公式含有一个自由变量 x，它们称为命题形式。一旦 x 被一个特定的数代替，它就马上变成一个真正的特定命题，于是它要么是在系统中可证明的，要么不。命题形式自身并不是命题，因此不能被证明也不能被否证。但每一个命题形式 F (x) 都有一个哥德尔数，可用 G (F) 表示。自由变量的选择与 G (F) 的赋值无关。

通过小心地分析系统的公理和推理规则，可以写下一个命题形式 P (x)，它表示 x 是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数。形式描述如下：如果 x 是一个可证明命题对应的哥德尔数，P (x) 就可被证明，而其否定～P (x) 则不能。

现在，哥德尔的把戏来了：一个命题形式 F (x) 称为不可自证的，当且仅当把命题形式 F 的哥德尔数 G (F) 代入 F 中所得的命题 F (G (F)) 是不可证明的。这个定义可以形式化，于是可以构造一个命题形式 SU (z)，表示 z 是某个不可自证命题形式的哥德尔数。SU (z) 的形式描述如下：

直观上，当问到 p 是否为真的时候，我们是在问：“不可自证这个特性本身是不可自证的吗？” 这很容易让人联想到理发师悖论，那个理发师只替那些不替自己理发的人理发：他替自己理发吗？

现在让我们假定公理系统是相容的。

如果 p 可以证明，于是 SU (G (SU)) 为真，根据 SU 的定义，z = G (SU) 就是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是 SU 就是不可自证的，根据不可自证的定义，SU (G (SU)) 是不可证明的。这一矛盾说明 p 是不可证明的。

如果 p = SU (G (SU)) 的否定是可以证明的，则根据 SU 的定义，z = G (SU) 就不是不可自证命题形式的哥德尔数。这意味着 SU 不是不可自证的。根据不可自证的定义，我们断定 SU (G (SU)) 是可以证明的，同样得到矛盾。这说明 p 的否定也是不可证明的。

因此，p 既不可在系统内证明也不可在系统内否证。

第二不完备定理的证明要点

令 p 是如上构造的不确定命题，且假定系统的兼容性可以在系统内部证明。我们已经看到，如果系统是兼容的，则 p 是不可自证的。这个证明过程可以在系统内部形式化，因此命题 “p 是不可证明的” 或者 “~P §” 可以在系统内证明。

但是最后一个命题就等价于 p 自己（而且这种等价性可以在系统内部证明），从而 p 就可以在系统内证明。这一矛盾说明系统是不相容的。

哥德尔不完备定理的意义

哥德尔定理是一阶逻辑的定理，故最终只能在这个框架内理解。在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的有效性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。理论上，这样的证明可以在电脑上检查，事实上这样的有效性检查程序也已经有了。

为了这个过程得以进行，我们需要知道手头有什么样的公理。我们可以从一组有限的公理集开始，例如欧几里得几何。或者更一般地，我们可以允许无穷的公理列表，只要能机械地判断给定的命题是否是一条公理就行。在计算机科学里面，这被称为公理的递归集。尽管无穷的公理列表听起来有些奇怪，实际上自然数的通常理论中，称为皮亚诺公理的就是如此。

哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了不能在此体系内以一阶谓词逻辑形式证明的命题，并且该命题的否命题也不能在该体系内以一阶谓词逻辑的形式证明。

存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里得几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。

但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，你永远不能找出公理的完整集合。每一次你将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在你的所能形式证明的范围之外。

你可以加入无穷条公理（例如，所有真命题）到公理列表中，确保所有命题都可证明为真或假，但你得到的公理列表将不再是递归集。给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。

在计算机科学的语言中，哥德尔定理有另一种表述方式。在一阶逻辑中，定理是递归可枚举的：你可以编写一个可以枚举出其所有有效证明的程序。你可以问是否可以将结论加强为递归集：可以编写一个在有限时间内判定命题真假的程序吗？根据哥德尔定理，答案是一般来说不能。

对哥德尔定理的一些误解

哥德尔的第一条定理有不少误解。我们就此稍作说明：

该定理并不意味着任何有趣的公理系统都是不完备的。例如，欧几里得几何可以被一阶公理化为一个完备的系统（事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们）。

该定理需假设公理系统可以 “定义” 自然数。就算这些系统拥有包括自然数作为子集的模型，也不一定就能定义自然数。必须透过公理和一阶逻辑，在系统中表达出 x 是一个自然数这个概念才行。有许多系统包含自然数，却是完备的。例如，塔斯基（Tarski）证明了实闭域都是完备的一阶公理化系统。

这理论用在人工智能上，则指出有些道理可能是我们能够判别，但机器单纯用一阶公理化系统却无法得知的道理。不过机器可以用非一阶公理化系统，例如实验、经验。

哥德尔不完备定理的相关讨论和推论

不完备性的结论影响了数学哲学以及符号逻辑（使用形式符号描述原理）中的一些观点。我们可以将第一定理解释为 “我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误”。以下对第二定理的另一种说法甚至更令人不安：

如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的兼容性，那么它是不兼容的。

于是，为了确立系统 S 的兼容性，就要构建另一个系统 T，但是 T 中的证明并不是完全可信的，除非不使用 S 就能确立 T 的兼容性。举个例子，自然数上的皮亚诺公理的兼容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫・希尔伯特的著名的未解决的 23 个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。

理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。

要注意哥德尔理论只适用于较强的公理系统。“较强” 意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术 Q 中那样。有一些更弱的公理系统是兼容而且完备的，例如 Presburger 算术，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。

公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），但要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效，是因为不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。

另一个哥德尔定理不适用的特殊情况是：将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表，如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。这样得到的系统是完备的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举集的。

哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；以上定理的第一个证明是罗梭（Russel）于 1936 年给出的。

基本上，第一定理的证明是通过在形式公理系统中构造如下命题

如果公理系统是兼容的，哥德尔证明了 p（及其否定）不能在系统内证明。因此 p 是真命题（p 声称它不可证明，而它确实不能），尽管其证明不能在系统内形式化。请注意将 p 作为公理加入系统并不能解决问题：扩大了的系统中会有另一个哥德尔语句出现。

哥德尔不完备定理关于不确定命题的例子

哥德尔和保罗・寇恩得出的一些结果结合起来给出了不确定命题（既不能证明也不能否证的命题）的一个实际例子：选择公理和连续统假设都是集合论的标准公理系统内的不确定命题。

在 1973 年，同调代数中的怀特海问题被证明是集合论中的不确定命题。

1977 年，Paris 和 Harrington 证明了组合论中的一个命题，拉姆赛理论的某个版本，在皮阿诺公理给出的算术公理系统中是不确定的，但可以在集合论的一个更大体系中证明为真。

在计算机科学中用到的克鲁斯克尔算法的树问题，也是在皮亚诺公理中不确定而在集合论中可证明的。

Goodstein 定理是一个关于自然数的相对简单的命题，它在皮亚诺算术中是不确定的。

Gregory Chaitin 在算法信息论中构造了一个不确定命题，即 Chaitin 随机数 Ω 的第 n 个字节是否为 0 这样的命题在 ZFC 内是不可判定的。

计算逻辑中的停机问题不可解，亦是哥德尔不完备定理的一种表现形式。

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哥德尔不完备定理 – MBA智库百科
https://wiki.mbalib.com/wiki/哥德尔不完备定理

哥德尔90年前的「不完备性定理」，奠定了计算机与AI的理论基础

大神早已远去，而他的光芒仍在人间。

哥德尔：20世纪最伟大的逻辑学家之一。© The Conversation

1931 年，奥地利裔美国著名数学家库尔特 · 哥德尔（Kurt Gödel）在一篇论文《Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme》中正式发表了不完备性定理。

1978 年，哥德尔在美国普林斯顿市去世，享年 71 岁。死亡报告显示，哥德尔死于「因人格障碍导致的营养不良」。

今年是哥德尔不完备性定理发表的 90 周年，为此，Jürgen Schmidhuber 特别发文纪念哥德尔及其卓越的理论贡献。

不完备性定理发表于论文《Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme》。

在 1931 年的那项研究中，哥德尔引入了一种通用语言来编码任意形式化的过程。他使用基于素数因数分解的哥德尔编码系统。他首先把唯一的自然数指派到在他所处理的算术的形式语言中的每个基本符号。

哥德尔证明了，任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

同时，他证明了算法定理证明、计算和任何类型的基于计算的 AI 都具有基础局限性（有些人误解了他的结果，认为他证明的是人类优于 AI）。1940 年代至 70 年代的大部分 AI 和定理证明有关，并且都是以哥德尔范式进行推论的，包括专家系统和逻辑编程。

1935 年，阿隆佐 · 丘齐（Alonzo Church）通过证明 Hilbert & Ackermann 著名的 Entscheidungsproblem（判定问题）没有一般解决方案，推导出哥德尔结果的推论 / 扩展。丘齐使用了叫做 Untyped Lambda Calculus 的通用编码语言，这门语言构成了极具影响力的编程语言 LISP 的基础。

1936 年，阿兰 · 图灵引入了另一个通用模型「图灵机」，至少在计算机领域，它是最著名的模型之一。图灵重新推导了上述结果。当然，他在 1936 年的论文中同时引用了哥德尔和丘奇。

阿兰 · 图灵

同年，Emil Post 发表了另一个独立的通用计算模型，也引用了哥德尔和 Church 的研究。正是图灵的工作 (1936) 使哥德尔相信他自己的方法 (1931-34) 和丘齐 (1935) 的方法具备普遍性。

理论计算机科学领域的「哥德尔奖」就是以哥德尔的名字命名的。奖金更高的图灵奖创建于 1966 年，以表彰那些「对计算机领域具有长久和重大的技术贡献」。有趣但同时也令人尴尬的是，哥德尔 (1906-1978) 本人从未获得过一个奖项，且不提他奠定了现代理论计算机科学领域的基础，而且哥德尔还在他写给约翰 · 冯 · 诺依曼的著名信件中（1956 年）确定了最著名的开放问题「P= NP？」。

应该提到的是，实际应用中的「人工智能」比哥德尔对人工智能基本局限性的理论分析要古老得多。1914 年，西班牙人 Leonardo Torres y Quevedo 是 20 世纪第一个应用 AI 的先驱，当时他构建了第一个可工作的国际象棋终局棋手。

几十年后，当人工智能先驱 Norbert Wiener 在 1951 年巴黎会议上与它对弈时，这台机器依然给人们留下了深刻的印象，1951 年巴黎会议通常被视为第一个关于人工智能的会议，尽管 1956 年「人工智能」这个词才在达特茅斯（Dartmouth）学会上提出。而在 1951 年，现在被称为人工智能的大部分内容仍然被称为控制论，其重点与现代基于深度神经网络的人工智能非常一致。

同样值得一提的是，实用「计算机」科学比哥德尔的理论计算机科学基础要古老得多。也许世界上第一台可以实际应用的可编程机器是公元 1 世纪制造的自动化剧场。其中可编程自动机的能源是一个落锤，拉动缠绕在旋转圆柱体上的绳子。控制门和木偶的复杂指令序列由复杂的包装进行编码。

公元 9 世纪，班努 · 穆萨兄弟发明了一种可以自动演奏乐曲的乐器，它使用旋转圆柱体上的销钉存储控制蒸汽驱动长笛的程序。从本质上说，这正是一台可以编程的机器，并且带有存储程序。

大约 1800 年，Joseph-Marie Jacquard 等人在法国建造了第一台商用程序控制机器，即基于打孔卡的织机，也许他们算是编写世界上第一个工业软件的第一批「现代」程序员。

这种机器设计思想启发了 Ada Lovelace 和她的导师 Charles Babbage，当时他们计划但却无法构建十进制的可编程通用计算机。1941 年 Zuse 制造出世界上第一台能编程的计算机 Z3，而在 1944 年，Howard Aiken 构建了第一个通用可编程机器十进制的马克一号（MARK I）。

马克一号（右面部分）

哥德尔经常被称为亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。《时代》杂志曾将他列为 20 世纪最有影响力的数学家，尽管一些数学家认为他最重要的研究成果在于逻辑和计算，而不是数学。有些人称哥德尔的理论是理论计算机科学的基础，后来理论计算机科学成为一个专门的学科。哥德尔的理论和思想激励了一代又一代的年轻人学习计算机科学。

在不到一个世纪的时间里，曾经只存在于伟人脑海中的东西，如今已成为现代社会不可忽视的存在，这些科学家理应获得更多的鲜花和掌声。

参考链接：https://people.idsia.ch/~juergen/goedel-1931-founder-theoretical-computer-science-AI.html

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哥德尔90年前的「不完备性定理」，奠定了计算机与AI的理论基础 机器之心编辑：蛋酱、小舟 2021年06月18日 12:51
https://mp.weixin..com/s/0GGmh54CgxHeC8eMHWD0lg?

上帝存在的本体论证明

利维坦按：

“对于我们的理性推论存在着两大原则：其一是矛盾原则，这就是说，两个相互矛盾的命题中一个是真理，另一个是谬误；其二是充足理由原则，根据此一原则，任何事物的产生都不可能没有原因或者至少不会没有一个确定的理由。这是指某种能够用来先天地进行解释的东西，它说明为什么某物存在着而不是不存在，为什么某物恰恰如此存在而不是以完全另一种方式存在。

”莱布尼茨的本体论证明是基于《神义论》中的两个原则（尤其是充足理由原则），当然，如果按照休谟的怀疑论来看，它仍然需要回答一个问题，即：为何作为整体的宇宙/世界必须要有一个充足的理由呢？或者说，存在是一个经验事实，还是超验事实？

莱布尼茨那句“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”，或许在很多人看来过于乐观，但在他的自有认知体系中，却是对于恶之存在的一种合理化诠释——上帝创造世界不可能如上帝本身一样完美。

我们知道，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978，出生于奥匈帝国的数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派成员，编者注）在人生的最后阶段对莱布尼茨（1646-1716）做了大量深入的研究工作。

哥德尔对莱布尼茨痴迷至极，按照他本人的说法，当有人毁掉了莱布尼茨的部分手稿时，卡尔·门格尔（Karl Menger，美籍奥地利数学家，编者注）问哥德尔：“谁能从毁掉莱布尼茨的手稿中获得好处？”哥德尔会说：“自然是那些不希望人类变得更聪明的人！”（门格尔，1994）。

当他的友人们建议他专注于自己的研究，而非钻研、阅读莱布尼茨的作品时，他一概置之不理。最终，不出意料，哥德尔继续追随着莱布尼茨的脚步，像莱布尼茨一样为上帝之存在提供了本体论证明。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716），德国哲学家、数学家。© ND/Roger Viollet/Getty Images
在这篇文章中，我将引用莱布尼茨的成果和阐释，例如他的通用表意文字和二进制数字系统，以便读者对他的部分成果有所了解，尤其是涉及数学哲学的那一部分。我还将解释莱布尼茨是如何理解证明和分析的概念的。最后，我将重点讨论莱布尼茨在神学和形而上学/哲学框架下的数学学科中的地位。

通用表意文字（Characteristica universalis）

“拉丁语‘characteristica universalis’，在英语中通常译为普遍特征（universal characteristic）或通用字符（universal character），是戈特弗里德·莱布尼茨所设想出的一种通用的形式语言，能够表达数学、科学和形而上学方面的概念。莱布尼茨希望创建的是一种可以在通用逻辑运算或者说推理演算框架之下加以使用的语言。”（维基百科，2019）

莱布尼茨的“通用表意文字”，这是他推理演算的基础。© Internet Archive
莱布尼茨意识到，政治或哲学方面的辩论和研究并不遵循数学方法。他认为，数学家也很可能像其他人一样犯错误，但他们也有一些工具可用以发现自己的错误。然而，哲学家没有数学家那样的工具，所以他们往往会犯更多的错误。

尽管哲学界有亚里士多德派或柏拉图派，数学界却没有“欧几里德派”或“阿基米德派”（引自《数学与神学：一项历史研究》[Mathematics and the Divine: A Historical Study]“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第485-498页）。根据莱布尼茨的观点，有必要对思想进行数学化，以便解决由感情而非正义所支配的争端；为了使思想中的重要部分形式化，数学领域需要产生符号和规则。

正如莱布尼茨在他的《通用表意文字序言》（Preface to a Universal Characteristic）中解释的那样，通用表意文字将揭示我们思维的“字母表”，分析其基本概念，而基于这些概念，就能以一种明确的方式判断一切事物（引自莱布尼茨《哲学文集》[Philosophical Essays]，第5-10页）。因此，主张两种不同观点的哲学家之间将不必再发生冲突，他们会挨着坐在一起说：“让我们计算一下吧！”（“Calculemus！”）然后他们就能计算出自己想法的准确性！

莱布尼茨的通用表意文字是一种计算公式。这种思想是基于将基本的或不可约的想法与质数相匹配。一个数字刻画一个基本想法：这就是特征数（characteristic number）。让我们引用莱布尼茨本人在文章中给出的一个例子，他在该篇文章中讨论了特征数文字的样本（引自莱布尼茨《哲学文集》，第10-18页）。假设我们给出两对数（13, 5）和（8, 7），它们分别对应“人是理性的动物”这一命题中“动物”和“理性”这两个基本概念。那么刻画“人”这一概念的数字就是（[13×8], [-5×7]）=（104, -35）。

根据这一思想，由于质数的数目是无限的，所有基本或不可约的概念都可以分配到一个、一对或一组三个数字；因此，其他复合概念可以以质数乘积的形式获得，整个语言系统都可以被映射成数字。

二进制数字系统（Binary Number System）

二进制数字系统

二进制数字系统在莱布尼茨之前就已经存在，但莱布尼茨是第一个以系统、成熟的方式记录它的人。在一封信中，莱布尼茨描述了他如何处理万物从无到有和二进制数字系统这两个问题。这是莱布尼茨思想中神学和数学（乃至物理学）巧妙地发生相互作用的例子，我会在后面提到这点。

针对万物创生和二进制系统，莱布尼茨设计了一枚金属纪念章（硬币）。该奖章上刻有以下字句：“（上帝）创世的场景”（Imago creationism），“自无导出万物，一足矣”（Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum）和“只需一物”（Unum est necessarium）。

莱布尼茨遵循毕达哥拉斯学说，声称万物的起源或本质是一个数字。众所周知，在二进制数字系统中，所有的数字都可以用0和1来表示。莱布尼茨把0解释为“无”，把1解释为“上帝”，他认为二进制系统象征着创造，因此一切都可以用这个系统表达。对莱布尼茨来说，一切都是0和1的组合。根据这一理论，万物都来自“1”，也就是上帝。

莱布尼茨本人绘制并出版了这枚纪念章。

对莱布尼茨来说，二进制数字系统揭示了上帝创世的美丽和完美。也就是说，二进制系统中的单个数字可能看起来并不美，但是当它们被一个接一个地写下去时，美就从整个系统的秩序感中诞生了。类似地，在这个世界上也许有些东西，我们单独看它们并不喜欢，但是当我们找到正确的视角，就会发现它是完美的。

莱布尼茨的数字神秘主义并不止于此，他还说过诸如“上帝喜欢奇数”之类的话。鉴于我们不想就这个问题展开太多，再举最后一个例子即可：莱布尼茨说，创世后的第七天在二进制中是一个非零（“完美”）数字，这是对于上帝六天创世的许多数字类比的一个补充。它还指出，111点代表着三位一体（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章）。

现代意义上的“证明”概念

正如科学哲学家伊恩·哈金（Ian Hacking）指出的那样，笛卡尔并不知道什么是当代意义上的“证明”。相比之下，莱布尼茨的理解则更接近于现代对证明的定义（哈金，2002）。他认为笛卡尔的数学准确性与证明无关。对于笛卡尔来说，即使一件真实的事情没有被证明，它也是自然真实的。因此，事物的真值与对它的证明是不相关的。

勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）。© 维基百科
我们也不要忘记，笛卡尔并不寻找证明，而是寻找能够给出新的数学结果的实用方法。现代证明概念之所以出现，是因为莱布尼茨认识到证明的有效性不在于其内容，而在于其形式。所以，“证明”是根据特定逻辑规则，始于特定同一性的特定句子的有限数量的序列。

如果我们回忆一下笛卡尔的方法，会注意到他在收集新信息时非常重视直觉，而在莱布尼兹对证明的理解中，关键在于找到我们所拥有的句子的“机械”证明。

分析

当一个陈述是谓项、等同于主项的项，或陈述中的谓项包含于主项中时，它被称为分析性陈述。例如，假如我们说“所有的人都是活着的”，对于莱布尼茨而言，我们的意思是“活着”的概念包含在“人”的概念之内（引自莱布尼茨《哲学文集》，第11页），所以这个陈述是分析性的。根据莱布尼茨的观点，所有的数学真理都是分析性的。

众所周知，伊曼努尔·康德通过努力改造莱布尼茨的实在（reality）概念，引入了分析-综合区别（analytic-synthetic distinction）。 康德认为，分析先验知识是只能通过逻辑获得的信息。综合先验知识是利用时间和空间直觉所获得的信息。 康德认为，算术学中的数线和几何学中的直线都是基于直觉的综合先验知识。

这里，我们想强调的是，莱布尼茨对分析和公义的理解（尽管康德已经改变了这些含义）塑造了弗雷格（Gottlob Frege）和罗素等逻辑学家的基本主张，他们在20世纪早期试图将所有的数学陈述归结为逻辑。此外，莱布尼茨的“公理可以被证明”的观点很可能也影响了逻辑学家。不仅如此，莱布尼茨本人也试图对某一数学证明中所用的原理给出有力的证明。

到目前为止，我们已经接触了莱布尼茨关于数学的一些观点。本文提出的问题之一是，莱布尼茨对待数学的看法无法和他的神学和形而上学/哲学观点区分开。比如，我们已经在上面提到过，莱布尼茨并不把二进制数字系统理解为一个算术问题。

布雷格（Breger）如是引用道，对于莱布尼茨来说，数学和神学就像是“通向上帝的阶梯”（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第493页）。要想理解莱布尼茨，就要对他眼中数学、神学和形而上学之间的关系一一进行讨论解决。 这样一个复杂的问题无法在这篇短文中尽数阐明；因此，我将仅仅提及其中几个问题，给读者一个大致印象。

莱布尼茨希望他的数学成就能引起人们对他的哲学和神学思想的注意；毕竟，数学成就是一个人意志坚韧的标志。莱布尼茨的这种个人层面的“机会主义”反映了他所处时代社会层面的另一种机会主义。众所周知，去往中国的基督教传教士利用欧洲的数学成就来给中国人留下深刻的印象，然后使他们信仰基督教。莱布尼茨会毫不犹豫地赞同这一做法。

事实上，对于莱布尼茨而言，通用表意文字方法是向那些不信仰上帝的人展示真相的最可靠的方法，因为它可以像一架天平一样测量和显示一切事物的准确值（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第9页）。换句话说，传教士们用这种计算方法向非基督徒展示真理，这将足以引导他们走向基督教！

莱布尼茨使用数字作为通用表意文字有其形而上学的基础所在。莱布尼茨论述了“上帝依据一定的尺度、数目和衡量创造万物”的信仰，这也是柏拉图的观点。莱布尼茨认为：有些物体没有重量，所以它们的重量无法计算；有些物体没有维度，所以它们的长度无法测量，但任何东西都可以数出数目。总之，数字是一切事物的本质。

根据莱布尼茨的说法，上帝是一位完美的数学家。创造的行为与“神圣的数学”（Mathesis quaedam Divina）一同发生。莱布尼茨在他的著名文章《论事物的终极起源》（On the Ultimate Origin of Things）中说，万物的起源是一种“形而上学的机制”或“神圣的数学”（引自莱布尼茨《哲学文集》，第151页）。世界上的一切都是按照一定的尺度和规律存在的，这些规律不仅是“几何”的，而且是“形而上学的”（同上，第152页）。
对于莱布尼茨来说，一个自由意志的世界，即使其中存在着残忍和邪恶，也比一个没有残忍、邪恶和自由意志的世界要好，他在《神义论》（*Theodicy，又名《神正论》*）和许多其他著作中都提到过这点。这就是对上帝何以创造一个存在邪恶之世界的解释。 在所有可能的世界中，为什么上帝以这种方式创造了这个世界，而不是另一个世界？

对莱布尼茨而言，这就是一个完美的世界！也就是说，作为一个完美的数学家，上帝计算了所有可能的世界，并创造了其中最好的那个。要证明这是所有可能中最好的世界，一个例子是，狮子是危险的动物，但是如果没有它们，这个世界将不那么完美。
此外，我们对这个世界的福祉的评估仅限于我们迄今为止所知晓的和经历过的事件。然而，上帝在选择这个最完美的世界时，考虑了全部的时间和所有的造物（引自莱布尼茨《哲学文集》，第149-155页）。莱布尼茨在这方面给出的另一个例子是，一个出生在监狱里的人不能仅仅通过环顾四周就断定整个世界都是坏的。毕竟，对于莱布尼茨来说，个体只能看到某一部分，而上帝在考虑过一切后才做决定。

不了了之

莱布尼茨那迷人的通用表意文字计划从未付诸实施。大卫·希尔伯特（David Hilbert）为莱布尼茨的思想辩护，认为这一思想的数学形式是可行的，并据此提出了一个计划。钦佩莱布尼茨的哥德尔证明了不完备定理（Deficiency Theorem），并指出像通用表意文字这样的计划注定要失败，这种失败不仅是哲学层面的，甚至也是数学层面的。

莱布尼茨那部分基于数学的形而上学和神学带来了严重的问题。从某种意义上说，莱布尼茨把一切都简化成了计算。例如，他把上帝比作了解决数学问题的计算器。这看起来似乎自相矛盾，但是很明显，这样的上帝在没有数学解决方案的事情上没有发言权。莱布尼茨说，在某些地方，即使是上帝也不能做永恒的运算。当莱布尼茨把上帝塑造成一个数学家时，他很清楚，即使是上帝也做不到数学家能做到的事。比如说，上帝不能做无限的运算，但他可以看到结果（就像数学家在求极限时不会逐个地无限次运算下去，而是可以计算出那些无限运算的结果）。此外，莱布尼茨认为，不可能存在一个以上采取绝对数学准确值的、自洽的数学体系。

从这里生发出了一个莱布尼茨并不感兴趣的问题：上帝使用的是哪种数学？

从我们到目前为止所写的来看，数学在莱布尼茨的一切思想中都占有重要的地位。在他看来，数学家必须是哲学家，正如哲学家应当是数学家一样。莱布尼茨在与洛必达（L’Hôpital）的通信中写道，他的形而上学是数学的，可以用数学的形式书写（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章）。不仅如此，按照莱布尼茨的看法，数学非常接近于逻辑，即创造新发明的艺术，而形而上学与逻辑没有什么不同。

“我起初是个哲学家，最后却成了神学家。”莱布尼茨说。如今，如果有人想理解莱布尼茨的哲学，他们仍然会遇到一个主要的问题：莱布尼茨著作中数学与哲学、形而上学及神学之间的关系。

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