斐波那契数列（兔子数列）

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文章内容摘自——百度百科

1. 定义

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

2. 递推公式

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

显然这是一个线性递推数列。

3. 通项公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)

注：此时

4. 与黄金分割关系

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666…，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.……………144÷233=0.…46368÷75025=0.……

越到后面，这些比值越接近黄金比.

5. 算法应用

（1）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

（2）有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

（(3）类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) – [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。

求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

（4）兔子繁殖问题

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：

，（n=1,2,3,…）

代码

c++代码： 

//输入n，求a(n) #include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int fun(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1) return 1; if (n >= 2) return (fun(n-1) + fun(n-2)); } int main() { int n; cin>>n; printf("%d\n", fun(n)); return 0; }

python代码： 

# 输出斐波那契数列 arr = [] def fib(n): a, b = 1, 1 while b < n: a, b = b, a+b arr.append(a) n = int(input()) fib(n) print(arr) print(len(arr))

摘自：

百度百科