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泰勒公式
泰勒公式简单来说就是,可以用一个N次多项式来表示出一个连续可导的函数 f(x)
是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式
第一步
根据图像我们发现在 0 附近这个函数和 s i n ( x ) 很贴合 , 越靠近 0 越贴合 根据图像我们发现在0附近这个函数和sin(x)很贴合,越靠近0越贴合 根据图像我们发现在0附近这个函数和sin(x)很贴合,越靠近0越贴合
我们发现阶数越高越贴合 , 离 0 越近越贴合 我们发现阶数越高越贴合,离0越近越贴合 我们发现阶数越高越贴合,离0越近越贴合
于是我们，大胆假定一个函数可以用N次多项式来进行代替
f ( x ) = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + … + C N − 1 x N − 1 + C N x N f(x) = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_{N-1} x^{N-1} + C_N x^N f(x)=C0+C1x+C2x2+…+CN−1xN−1+CNxN
求系数
所以现在变为,我们怎么得到N次多项式的系数
这是一个泰勒展开，适用于充分光滑的函数，通过这个展开式，我们可以近似表示函数在 ( x = 0 ) 附近的行为。
P n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′ ′ ′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + … + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n P_n(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f”(a)}{2!}(x – a)^2 + \frac{f”'(a)}{3!}(x – a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n Pn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f′′′(a)(x−a)3+…+n!f(n)(a)(x−a)n
其中， f ′ ( a ) 表示 f ( x ) 在 x = a 处的一阶导数， f ′ ′ ( a ) 表示二阶导数，以此类推， f ( n ) ( a ) 表示第 n 阶导数。 其中，f'(a) 表示 f(x) 在 x = a 处的一阶导数，f”(a) 表示二阶导数，以此类推，f^{(n)}(a) 表示第 n 阶导数。 其中，f′(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f′′(a)表示二阶导数，以此类推，f(n)(a)表示第n阶导数。
通用形式为：
P n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x – a)^k Pn(x)=k=0∑nk!f(k)(a)(x−a)k
试试不在0展开
为什么可以表示
参考信息:
B站视频【泰勒公式】
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