概率论与数理统计（二）古典概型与几何概型

老牧童 • 2025-05-31 20:20 • 未分类

概率论与数理统计（二）古典概型与几何概型随机事件 A 发生可能性大小的度量为事件 A 发生的概率记为

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目录

一、古典概型、排列组合

1、概率的描述性定义

2、古典概型

3、关于排列数

4、关于组合数

5、几何概型

一、古典概型、排列组合

1、概率的描述性定义

随机事件A发生可能性大小的度量为事件A发生的概率，记为 P(A)

2、古典概型

（1）定义：称具有以下两个特点的试验为古典概型

-试验E的样本空间 $\Omega$ 只包含有限个样本点，即 $\Omega=\{ \omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$ ;

-每个样本点出现的可能性相同

（2）计算公式：若事件A由k个基本事件组成，则有：

$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{K_A}{N_\Omega}$

注意：其中 K_A 表示事件A包含的基本事件数； $N_\Omega$ 表示样本空间 $\Omega$ 中的基本事件总数

3、关于排列数

所谓排列数，其实就是高中数学中关于 $A_{m}^{n}$ 的计算。

（1）排列：从n个元素中，任取 $m({m}\leq{n})$ 个不同元素，按一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）排列数公式：从n个不同元素中取出 $m({m}\leq{n})$ 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 $A_{n}^{m}$ 或 $P_{n}^{m}$ 表示。

排列数计算公式： $A_{n}^{m}=n(n-1)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$ （从n倒着乘n个）

特别的，当m=n时称为全排列，有 $A_{n}^{n}=n!$

4、关于组合数

所谓组合数，其实就是高中数学中关于 $C_{m}^{n}$ 的计算。

（1）组合：从n个不同元素中，任取 $m(m\leq{}n)$ 个不同元素组成一组。叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（2）组合数公式：从n个不同元素中取出 $m(m\leq{}n)$ 个元素所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 $C_{n}^{m}$ 或 $\binom{n}{m}$

组合数计算公式： $C_{n}^{m}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

计算性质（1） $C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$ （2） $C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}$

5、几何概型

几何概型就是将等可能事件的概念从有限向无限延伸

（1）定义：试验E的样本空间 $\Omega$ 充满某个区域（线段或平面，空间中有界区域）随机地向 $\Omega$ 内投掷一点M，点M落在 $\Omega$ 内度量相同的子区间（或子区域）的可能性相等，具有这样的性质的随机试验称为几何概型。

注：也可表述为“点M落在 $\Omega$ 内任意子区间（或子区域）G的概率，只与G的度量（长度、面积、体积）成正比，而与G的位置和形状无关。

计算公式：设事件A表示点M落在G内，则有

$P(A)=\frac{G}{\Omega}$ ，其中G表示G的长度（面积、体积）； $\Omega$ 表示 $\Omega$ 的长度（面积、体积）

（本节完）

参考资料：

1、1h从入门到精通！”概率定义与性质+古典概型+几何概型”一站式大礼包！|概率论与数理统计002_哔哩哔哩_bilibili

2、《概率论与数理统计》-韩旭里，谢永钦主编-北京大学出版社，2018.7

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