约数个数和，约数之和，约数

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约数定义

约数：约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数

1.求n的约数

vector<ll> get_divisors(ll n){ 
   //试除法求n的所有约数 vector<ll> ans; for (ll i = 1; i <= n / i; i++) { 
    if (n % i == 0) { 
    ans.push_back(i); if (i != n / i) ans.push_back(n / i); } } //sort(ans.begin(), ans.end()); return ans; } 

2.求n的约数个数

用 $d_i$ 表示 $i$ 的约数个数，$nu{m}_i$ 表示 $i$ 的最小质因子出现次数。
定理：若 $n={\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}$ 则 $d_i={\prod }_{i=1}^m{c}_i+1$.

证明：我们知道 $p_i^{c_i}$ 的约数有 $p_i^0,p_i^1,\dots ,p_i^{c_i}$ 共 $c_i+1$ 个，根据乘法原理，$n$ 的约数个数就是 ${\prod }_{i=1}^m{c}_i+1$.
代码一：线性筛

void pre() { 
    d[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { 
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1; for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) { 
    v[p[j] * i] = 1; if (i % p[j] == 0) { 
    num[i * p[j]] = num[i] + 1; d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1); break; } else { 
    num[i * p[j]] = 1; d[i * p[j]] = d[i] * 2; } } } } 

代码二：

ll getnum(ll n){ 
    //计算n的约数个数 ll ans = 1; for (ll i = 2; i <= n / i; i++) { 
    ll k = 0; while (n % i == 0) { 
    n = n / i; k++; } if (k) ans *= (k + 1); } if (n != 1) ans = ans * 2; if (ans == 1) { 
    if (n == 1) return 1; else return 2; } return ans; } 

3.求n的约数之和

$f_i$ 表示 $i$ 的约数和，$g_i$ 表示 $i$ 的最小质因子的 $p+p^1+p^2+\dots p^k$.
代码一：线性筛

void pre() { 
    g[1] = f[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { 
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1; for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) { 
    v[p[j] * i] = 1; if (i % p[j] == 0) { 
    g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1; f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]]; break; } else { 
    f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]]; g[i * p[j]] = 1 + p[j]; } } } for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod; } 

代码二：

ll qpow(ll a, ll b) { 
    ll ans = 1; while (b) { 
    if (b & 1)ans *= a; a *= a; b >>= 1; } return ans; } ll getsum(ll n) { 
   //计算n的约数和是多少. ll ans = 1; for (ll i = 2; i <= n / i; i++) { 
    ll t = 0; while (n % i == 0) { 
    n = n / i; t++; } ans *= ((1 - qpow(i, t + 1)) / (1 - i)); } if (n != 1) ans *= (1 + n); return ans; }