同济《高等数学》——第七章微分方程

微分方程是描述函数以及函数导数之间关系的方程，它的意义在于沟通了微积分和实际问题之间的桥梁。在本篇笔记中，重在梳理知识框架，比如：齐次方程、一阶微分方程、可降价的高阶微分方程、差分方程等等；也会针对易混淆的概念进行我的看法，比如：微分方程里出现的两个“齐次”有什么区别与联系？“线性”一词怎么理解？等。话不多说，进入正题！

一. 微分方程的基本概念

1. 微分方程

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫做微分方程。

2. 微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。

比如： $y{}''+y^{3}=x$ ，这个微分方程的阶数为2。

3. 微分方程的解

设函数 $y=\varphi \left ( x \right )$ 在区间上有n阶连续导数，如果 $F[x,\varphi \left ( x \right ),{\varphi}' \left ( x \right ),...\varphi ^{\left ( n \right )}\left ( x \right )]=0$ 成立，那么函数 $y=\varphi \left ( x \right )$ 叫做微分方程的解。

4. 微分方程的通解

如果微分方程的解中含有任意常数，即 $y=\varphi \left ( x ,C\right )$ ，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，叫做微分方程的通解。

5. 微分方程的特解

满足某个初值条件的解叫做微分方程的特解。

6. 积分曲线与积分曲线族

微分方程的解 $y=\varphi \left ( x \right )$ 的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线；

微分方程的通解 $y=\varphi \left ( x ,C\right )$ 的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线族。

二. 一阶微分方程

1. 变量可分离方程（初等积分法）

形如 $\frac{dy}{dx}=f\left ( x \right )g\left ( y \right )$ 的方程，叫做变量可分离方程，其中 $f\left ( x \right )$ ， $g\left ( y \right )$ 分别是关于，的连续函数。

解法：一般采用的初等积分法。

a）若 $g\left ( y \right )\neq 0$ 则

$\frac{dy}{dx}=f\left ( x \right )g\left ( y \right )$

$\Rightarrow \frac{dy}{g\left ( y \right )}=f\left ( x \right )dx$

$\Rightarrow \int \frac{dy}{g\left ( y \right )}=\int f\left ( x \right )dx$

两边同时求出积分结果即可，右边不要忘记加任意常数C。

若 $g\left ( y \right )= 0$ 即 $\exists y_{0}$ ， $g\left ( y_{0} \right )=0$ ，则 $y=y_{0}$ 也是微分方程的解（直线解）。

【注】这种等于0的情况一定不要忘记考虑啦

2. 齐次方程（变量代换法）

形如 $\frac{dy}{dx}=g\left ( \frac{y}{x} \right )$ 的方程，叫做齐次方程。

解法：一般采用的变量代换法。

作变量代换，令 $u=\frac{y}{x}$ ，得

$\frac{dy}{dx}=g\left ( u \right ),dy=d\left ( ux \right )=udx+xdu$

$\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{g\left ( u \right )-u}{dx}$

a）若 $g\left ( u \right )-u\neq 0$ ，得

$\frac{du}{g\left ( u \right )-u}=\frac{dx}{x}$

两边积分得

$\int \frac{du}{g\left ( u \right )-u}=\int \frac{dx}{x}$

两边同时求出积分结果即可，右边不要忘记加任意常数C。

b) 若 $g\left ( u \right )-u=0$ ，即 $\exists u_{0}$ ， $g\left ( u_{0} \right )-u_{0}=0$ ， $\Rightarrow \frac{y}{x}=u_{0}\Rightarrow y=u_{0}x$ ，带入检验，若成立，即 $y=u_{0}x$ 也是解。

3. 线性方程

3.1 一阶线性齐次方程

形如 $\frac{dy}{dx}=P\left ( x \right )y$ 的方程，叫做一阶线性齐次方程。

解法：可以采用分离变量法。

具体解法过程和可分离变量方程的解法类似，这里直接给出结论：

①.一阶线性齐次方程的通解： $y=Ce^{\int p\left ( x \right )dx}$ ，其中C为任意常数；

②.满足初值条件 $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$ 的特解： $y=y_{0}e^{\int_{x_{0}}^{x} p\left ( t \right )dt}$ 。

3.2 一阶线性非齐次方程

形如 $\frac{dy}{dx}=P\left ( x \right )y+Q\left ( x \right )$ 的方程，叫做一阶线性非齐次方程。

解法：可以采用积分因子法或常数变易法。

关于积分因子法和常数变易法，步骤复杂，后面会专门出个专题来介绍，这里直接给出结论：

①.一阶线性非齐次方程的通解： $y=e^{\int p\left ( x \right )dx}\left [ \int Q\left ( x \right ) e^{-\int p\left ( x \right )dx}+C\right ]$ ，其中C为任意常数；

②.满足初值条件 $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$ 的特解： $y=e^{\int_{x_{0}}^{x}p\left ( t \right )dt}\left [ \int_{x_{0}}^{x}Q\left ( t \right ) e^{-\int_{x_{0}}^{t}p\left ( s \right )ds}dt+y_{0}\right ]$ 。

三. 可降阶方程

类型1. 形如 $y^{\left ( n \right )}=f\left ( x \right )$ ，一般多次计算积分即可。

【例1】求解微分方程 $y{}''=e^{x}$ 的通解。

解： $y{}''=e^{x}\Rightarrow y{}'=e^{x}+C_{1}\Rightarrow y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$

类型2. 形如 $y{}''=f\left ( x,y{}' \right )$ ，

令 y{}'=p ，有 $y{}''=\frac{dp}{dx}$ ，则 $\frac{dp}{dx}=f\left ( x,p \right )$ ，化为一阶方程求解。

【例2】（2000年，1）求解微分方程的通解。

解：令 y{}'=p ，有 $y{}''=\frac{dp}{dx}$ ，则

$x\frac{dp}{dx}+3p=0$

$\Rightarrow \frac{dp}{p}=-3\frac{dx}{x}$

$\Rightarrow \ln |p|=-3 \ln |x|+C$

$\Rightarrow |p|=e^{C}|x|^{-3}$

$\Rightarrow P=\frac{C_{1}}{x^{3}}$

$\Rightarrow p=\frac{dy}{dx}=\frac{C_{1}}{x^{3}}$

化为变量可分离方程，两边积分，有

$y=\frac{C_{2}}{x^{2}}+C_{1}$

类型3. 形如 $y{}''=f\left ( y,y{}' \right )$ ，

一般令 y{}'=p ，有 $y{}''=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\cdot \frac{dp}{dy}$ ，则 $\Rightarrow p\frac{dp}{dy}=f\left ( y,p \right )$ ，化为一阶方程求解。

【例3】（2002年，2）给定初值条件 $y\left ( 0 \right )=1$ ， $y{}'\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}$ ，求方程 $yy{}''+y{}'^{2}=0$ 的通解。

解：令 y{}'=p ，有 $y{}''=p\cdot \frac{dp}{dy}$ ，则

$y\cdot p\cdot \frac{dp}{dy}+p^{2}=0$

$\Rightarrow \frac{dp}{p}=-\frac{1}{y}dy$

$\Rightarrow p=\frac{C}{y}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{C}{y}$

代入初值条件 $y\left ( 0 \right )=1$ ， $y{}'\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}$ ，则

$C=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$

$\Rightarrow y^{2}=x+C_{1}$

代入初值条件 $y\left ( 0 \right )=1$ ，则

$C_{1}=1$

$\Rightarrow y^{2}=x+1$

四. 高阶线性微分方程

1. 线性微分方程解的结构

二阶齐次线性方程： $y{}''+p\left ( x \right )y{}'+q\left ( x \right )y=0$

二阶非齐次线性方程： $y{}''+p\left ( x \right )y{}'+q\left ( x \right )y=f\left ( x \right )$

定理1. 如果 $y_{1}\left ( x \right )$ 和 $y_{2}\left ( x \right )$ 是齐次方程的两个线性无关的特解，那么

$y=C_{1}y_{1}\left ( x \right )+C_{2}y_{2}\left ( x \right )$

就是齐次方程的通解。

简单说，齐次方程的通解等于两个齐次方程线性无关的特解的线性组合。

定理2. 如果 $y_{1}\left ( x \right )$ 和 $y_{2}\left ( x \right )$ 是齐次方程两个线性无关的特解， $y^{*}\left ( x \right )$ 是非齐次方程的一个特解，那么

$y=C_{1}y_{1}\left ( x \right )+C_{2}y_{2}\left ( x \right )+y^{*}\left ( x \right )$

就是非齐次方程的通解。

简单说，非齐次方程的通解等于两个齐次方程线性无关的特解的线性组合+非齐次方程一个特解。

定理3. 如果 $y_{1}^{*}\left ( x \right )$ 和 $y_{2}^{*}\left ( x \right )$ 是非齐次方程的两个特解，则 $y\left ( x \right )=y_{1}^{*}\left ( x \right )-y_{2}^{*}\left ( x \right )$ 是齐次微分方程的解。

定理4. 如果 $y_{1}^{*}\left ( x \right )$ 和 $y_{2}^{*}\left ( x \right )$ 分别是非齐次方程 $y{}''+p\left ( x \right )y{}'+q\left ( x \right )y=f_{1}\left ( x \right )$ 和 $y{}''+p\left ( x \right )y{}'+q\left ( x \right )y=f_{2}\left ( x \right )$ 的特解，则 $y_{1}^{*}\left ( x \right )+y_{2}^{*}\left ( x \right )$ 是 $y{}''+p\left ( x \right )y{}'+q\left ( x \right )y=f_{1}\left ( x \right )+f_{2}\left ( x \right )$ 的一个特解。

2. 常系数齐次线性微分方程

形如，其中是常数，叫做二阶常系数齐次线性微分方程。

同时我们把 $r^{2}+pr+q=0$ 叫做特征方程，即只要满足代数方程，则函数 $y=e^{rx}$ 就是微分方程的解。

设 $r_{1},r_{2}$ 是特征方程的解

1）若 $r_{1}\neq r_{2}$ ，两个不等实根，通解为 $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ ；

2）若 $r_{1}=r_{2}=r$ ，两个相等实根，通解为 $y=C_{1}e^{rx}+C_{2}\cdot x\cdot e^{rx}$ ；

3）若 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ ，两个共轭复根，通解为 $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ 。

【例4】（2013年，3 ）求微分方程 $y{}''-y{}'+\frac{1}{4}y=0$ 的通解。

解：写出特征方程为

$r^{2}-r+\frac{1}{4}=0$

解得

$r_{1}=r_{2}=\frac{1}{2}$

得

$y=e^{\frac{1}{2}x}(C_{1}+C_{2}x)$

3. 常系数非齐次线性微分方程

形如，其中是常数，叫做二阶常系数非齐次线性微分方程。

给出两类常见的 $f\left ( x \right )$ 的类型：

①. $f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$

解法通常为：先求解对应齐次方程的通解，接着设出非齐次的一个特解为 $y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$ ，代入求解。

【注】这里的是 $\lambda$ 为特征根的重数，如果 $\lambda$ 不是特征根，则 k=0 ， $Q_{m}(x)$ 是次多项式，和 $f\left ( x \right )$ 的里面的 $P_{m}(x)$ 次数相同。

②. $f\left ( x \right )=e^{\alpha x}[P^{(1)}_{l}\left ( x \right )\cos \beta x+P^{(2)}_{n}\left ( x \right )\sin \beta x]$

解法通常为：先求解对应齐次方程的通解，接着设出非齐次的一个特解为 $y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R^{(1)}_{m}\left ( x \right )\cos \beta x+R^{(2)}_{m}\left ( x \right )\sin \beta x],m=\max \left \{l,n \right \}$ ，代入求解。

【例5】（1995年，3）求微分方程的通解。

解：a）求对应齐次方程的通解，特征方程为

$r^{2}+1=0$ $\Rightarrow r_{1,2}=\pm i$

$y=e^{0x}(C_{1}\cos x+C_{2}\sin x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x$

b）设出非齐次方程的特解 $y^{*}=ax+b$ ，代入方程为

$\Rightarrow y^{*}=-2x$

$y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-2x$

五. 其他方程

1.伯努利方程（可化为线性方程的方程）

形如 $\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)y^{n}$ 的方程，称为伯努利方程，其中 $n\neq 0,1$ ，是常数，和为的连续函数。

解法： 变量代换法和分离变量法

做变量代换 $z=y^{1-n}$ ，直接给出通解

$z=y^{1-n}=e^{\int (1-n)P(x)dx}[\int (1-n)Q(x)e^{-\int (1-n)P(x)dx}dx+C]$

2.欧拉方程

形如 $x^{n}y^{\left ( n \right )}+a_{1}x^{n-1}y^{\left ( n-1 \right )}+...a_{n-1}x^{1}y^{\left ( 1 \right )}+a_{n}y=f\left ( x \right )$ 的方程，叫做欧拉方程。

解法：做变量代换 $x=e^{t}$ ，有 $x^{k}y^{\left ( k \right )}=D\left ( D-1 \right )...(D-k+1)y$ ， $D=\frac{d}{dt}$ 是算子。

3.全微分方程（恰当方程）

形如 $P\left ( x,y \right )dx+Q(x,y)dy=0$ 的方程，如果方程左端恰好是某一个二元函数的全微分，则称为全微分方程（恰当方程）。

解法：a）判断 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

b）求解 ①.偏积分 ②.凑微分 ③.线积分

4.差分方程

一阶常系数线性齐次差分方程，形如 $y_{t+1}+ay_{t}=0$ ，通解为 $y_{c}(t)=C\cdot (-a)^{t}$ ；

一阶常系数线性齐次非差分方程，形如 $y_{t+1}+ay_{t}=f(x)$ ，通解为 $y(t)=y_{c}\left ( t \right )+y_{t}^{*}$ ；

给出两类常见的 $f\left ( x \right )$ 的类型：

①. $f(t)=P_{m}(t)$

a).若 $a\neq -1$ ，令 $y_{t}^{*}=Q_{m}\left ( t \right )$ ；

b).若，令 $y_{t}^{*}=t\cdot Q_{m}\left ( t \right )$ ；

②. $f\left ( t \right )=d^{t}\cdot P_{m}\left ( t \right ),d\neq 0$

a).若 $a+d\neq 0$ ，令 $y_{t}^{*}=d^{t}\cdot Q_{m}\left ( t \right )$ ；

b).若，令 $y_{t}^{*}=t\cdot d^{t}\cdot Q_{m}\left ( t \right )$ ；

【例6】（1997年，3）求差分方程 $y_{t+1}-y_{t}=t\cdot 2^{t}$ 的通解。

解：a）求对应齐次方程的通解

$y_{c}(t)=C\cdot (1)^{t}=C$

b）设出非齐次方程的特解 $y^{*}_{t}=2^{t}\cdot \left ( at+b \right )$ ，代入方程为

$2^{t+1}\cdot \left ( a(t+1)+b \right )-2^{t}\cdot \left ( at+b \right )=t\cdot 2^{t}$

$\Rightarrow a=1,b=-2$

$y=C+(t-2)\cdot 2^{t}$

本次分享就结束啦，如果有错误请指出喔，下篇笔记见！

免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/140067.html

同济《高等数学》——第七章 微分方程