0903全微分-多元函数微分法及其应用

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

一、全微分的定义

设函数$z=f(x,y)在点P(x,y)$的某邻域内有定义，$P^{{}^{\prime }}(x+\Delta x,y+\Delta y)$为这邻域内的任意一点，则称这两点间的数值之差$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$为函数在点P对应于自变量增量$\Delta x和\Delta y$的全增量，记作$\Delta z$,即
$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

设函数$z=f(x,y)在点(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x,y)的全增量\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$可表示为
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$
其中A和B不依赖于$\Delta x和\Delta y而仅和x和y$有关，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$,那么称函数$z=f(x,y)在点(x,y)$可微分，而$A\Delta x+B\Delta y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)$的全微分，记作$dz$，即
$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

如果函数在区域D内各点都可微分，那么称函数在D内可微分。

注：

1. 如果函数$z=f(x,y)在点(x,y)$可微分，那么该函数在该点连续

定理1（必要条件）如果函数$z=f(x,y)在点(x,y)$可微分，那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}和\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且函数$z=f(x,y)在点(x,y)$的全微分为
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

$$\begin{gathered} 证明； \\ 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微分，对于点P的某个邻域内的任意一点P^{{}^{\prime }}(x+\Delta x,y+\Delta y),有 \\ \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ) \\ 取\Delta y=0,则\rho =|\Delta x|,得 \\ f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(|\Delta x) \\ 上式两边各除以\Delta x,在令\Delta x\to 0，取极限，有 \\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=A \\ 即\frac{\partial z}{\partial x}=A \\ 同理可证\frac{\partial z}{\partial y}=B \\ \therefore dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y \end{gathered}$$

注：

1.函数全微分存在$\Rightarrow$函数各偏导数存在

定理2（充分条件） 如果函数$z=f(x,y)的偏导数\frac{\partial z}{\partial x}、\frac{\partial z}{\partial y}在点(x,y)$连续，那么函数在该点可微分。

注：

1. 偏导连续$\Rightarrow$可微分
2. 偏导连续：$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }{f}_x^{{}^{\prime }}(x,y)=f^{{}^{\prime }}(x_0,y_0),\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }{f}_y^{{}^{\prime }}(x,y)=f^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)$

二、全微分公式

1 全微分公式

当$\rho$很小时，$\Delta z\approx dz$

对于二元函数$z=f(x,y)$的全微分，有
$$dz=f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y$$
一般地，记$\Delta x=dx,\Delta y=dy$,则
$$dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$$

2 推广

$u=f(x,y,z)在(x,y,z)处可微$，则
$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$$

3 例题

例2 求$z=x^{2}y+y^2的全微分$
$$\begin{gathered} 解： \\ \frac{\partial z}{\partial x}=2xy,\frac{\partial z}{\partial y}=x^2+2y \\ dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=2xydx+(x^2+2y)dy \end{gathered}$$

例3 求$z=e^{xy}在(2,1)$处的全微分
$$\begin{gathered} 解： \\ \frac{\partial z}{\partial x}=y{e}^{xy},\frac{\partial z}{\partial y}=x{e}^{xy} \\ dz=y{e}^{xy}dx+x{e}^{xy}dy \\ dz{|}_{(2,1)}=e^{2}dx+2e^{2}dy \end{gathered}$$

例4 求$u=x+\sin \frac{y}{2}+e^{yz}$的全微分
$$\begin{gathered} 解： \\ \frac{\partial u}{\partial x}=1,\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}\cos \frac{y}{2}+z{e}^{yz},\frac{\partial u}{\partial z}=y{e}^{yz} \\ \therefore du=dx+\frac{1}{2}\cos \frac{y}{2}dy+y{e}^{yz}dz \end{gathered}$$
例5 设$z=f(x,y)={\int }_0^{xy}(e^{-t^2})dt$，求$dz$
$$\begin{gathered} 解： \\ \frac{\partial z}{\partial x}=e^{-(xy{)}^2}\cdot y,\frac{\partial z}{\partial y}=e^{-(xy{)}^2}\cdot x \\ dz=e^{-(xy{)}^2}(ydx+xdy) \end{gathered}$$

结语

❓:

⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math

参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p72-77.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p66.