聚类算法之k均值聚类（K-Means）

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引言

聚类，作为一种核心的无监督学习技术，长久以来在数据挖掘、机器学习、统计分析和其他多个领域中占据了重要的地位。其基本思想是基于数据的内部结构和特点，对其进行组织和分类，使得相同组内的数据点之间的相似性尽量大，而不同组之间的数据点的差异性尽量显著。

聚类的应用十分广泛，从市场细分、社交网络分析，到生物信息学、图像识别等领域，都有其身影。例如，在商业领域，根据消费者的购买记录和行为模式进行聚类，可以帮助企业发现不同的市场细分，进而制定更有针对性的营销策略。

本文将介绍四种主流的聚类算法：K均值、层次聚类、DBSCAN和高斯混合模型。每种算法都有其特点，适用于不同的数据类型和场景。

K均值聚类 (K-Means)

K均值聚类是机器学习中最受欢迎和最广泛使用的聚类算法之一。它是无监督学习的代表，典型地用于市场细分、图像分割、社交网络分析等。由于其简洁性和效率，K均值已经成为初学者和研究者首选的工具，尤其是当面对大规模数据集时。

1. 算法解读：

K均值聚类的基本思想是：给定数据集中的数据点，算法试图找到K个中心（或称为质心），这些中心能够最好地代表数据。算法的工作方式是迭代的：初始化中心，将每个数据点分配给最近的中心，然后根据分配给它们的数据点来重新计算中心。这个过程一直重复，直到中心点不再显著变化或达到预设的迭代次数。

2. 步骤和细节：

初始化：随机选择数据集中的K个数据点作为初始中心。

分配：对于数据集中的每一个数据点，测量它到每一个中心的距离，并将其分配给最近的中心。

计算新的中心：对于每个聚类，计算其所有数据点的均值，该均值即为新的中心。

迭代：重复步骤2和3，直到中心不再显著变化或达到预定的迭代次数。

结果：最后的K个中心及其各自的聚类为算法的输出。

3. 举例：

让我们使用城市配送站的例子来详细解释K均值聚类算法。

假设你是一家快递公司的经理，公司负责为城市中的居民配送包裹。为了提高配送效率，你决定在城市中设立K个配送站。每个配送站会负责为附近区域的居民提供服务。你希望通过K均值聚类算法来确定这K个配送站的最佳位置。

初始化：

你在地图上随机选择K个点作为配送站的初始位置。这些点可能并不是实际的居民区，但是它们将作为算法的起始点。

分配：

接下来，你会计算城市中每个居民区到这K个初始配送站的距离，并将每个居民区分配给距离最近的配送站。这样，整个城市就被划分成了K个区域，每个区域都有一个配送站负责服务。

计算新的中心：

对于每个划分出来的区域，你会计算区域内所有居民区的地理中心，并将这个中心作为新的配送站位置。这个过程是为了确保配送站位于其服务区域的中心位置，从而最小化配送距离。

迭代：

你会重复“分配”和“计算新的中心”的步骤，直到配送站的位置不再显著变化，或者达到了预设的迭代次数。这个过程是为了不断优化配送站的位置，使得总的配送距离最小。

结果：

最终，你会得到K个配送站的最佳位置，以及相应的服务区域。这些配送站的位置是根据居民区的分布来确定的，以确保每个居民区都能够得到方便快捷的配送服务。

通过这个例子，我们可以看到K均值聚类算法是如何通过迭代优化来确定最佳的分类中心的。在这个应用场景中，算法帮助我们找到了提高配送效率的最佳配送站位置。

Python代码如下：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.datasets import make_blobs # 设置随机种子，以便结果可复现 np.random.seed(0) # 生成100个居民区的坐标点 X, _ = make_blobs(n_samples=100, centers=5, cluster_std=1.0) # 设置K均值聚类算法的参数 n_clusters = 5 # 配送站的数量 n_iterations = 5 # 迭代次数 # 初始化图表 fig, ax = plt.subplots(n_iterations, figsize=(6, 10)) # 运行K均值聚类算法并逐步展示结果 for i in range(n_iterations): # 创建K均值聚类模型 kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters, max_iter=i + 1, n_init=1, init='random', random_state=0) # 训练模型 kmeans.fit(X) # 获取居民区的分类标签 labels = kmeans.labels_ # 获取配送站的坐标 centers = kmeans.cluster_centers_ # 绘制居民区和配送站 ax[i].scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, s=50, cmap='viridis', marker='o', alpha=0.6) ax[i].scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', s=200, marker='X') ax[i].set_title(f'Iteration {i + 1}') # 调整图表布局 plt.tight_layout() plt.show()

4. 算法评价：

优点：

简单：K均值的算法逻辑清晰，容易实现。

快速：对于大数据集，K均值相对较快，尤其是与其他聚类方法相比。

适用于大数据集：K均值常用于大规模数据集，因为它的计算复杂度相对较低。

缺点：

K值：需要预先指定K值，但在实际应用中，最佳的K值通常是未知的。

初始点敏感：不同的初始化中心可能导致不同的聚类结果。

局部最小值：算法可能会陷入局部最小值，尤其是在选择了不良初始中心时。

肘部法则：

肘部法则是一种常用的聚类分析方法，用于确定最佳聚类数。它的基本思想是，随着聚类数的增加，聚类结果的惯性会逐渐减小，但减小的速度会逐渐变缓。当聚类数增加到一定程度时，惯性的减小速度会急剧变缓，形成一个类似于手肘的拐点。这个拐点所对应的聚类数就是最佳聚类数。因此，肘部法则的目的就是通过绘制肘部曲线来找到这个拐点，以确定最佳聚类数。

聚类结果的惯性是指聚类结果与聚类中心的距离平方和。在 KMeans 算法中，惯性是一个重要的评估指标，用于衡量聚类结果的好坏。聚类结果的惯性越小，说明聚类结果与聚类中心的距离越近，聚类效果越好。因此，在使用 KMeans 算法进行聚类时，通常会尝试不同的聚类数，并选择惯性最小的聚类结果作为最终的聚类结果。

代码如下：

from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.datasets import make_blobs # 生成100个居民区的坐标点 X, _ = make_blobs(n_samples=100, centers=5, cluster_std=1.0) # 定义K值的范围 k_values = range(1, 11) # 初始化一个列表来存储每个K值对应的惯性值 inertia_values = [] # 对每个K值运行K均值聚类算法，并记录惯性值 for k in k_values: kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=0) kmeans.fit(X) inertia_values.append(kmeans.inertia_) # 绘制肘部曲线 plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(k_values, inertia_values, marker='o') plt.xlabel('Number of Clusters (K)') plt.ylabel('Inertia') plt.title('Elbow Method For Optimal k') plt.grid(True) plt.show()

在上图中，横坐标是聚类数 K，纵坐标是对应的惯性值。我们可以看到，随着 K 值的增加，惯性值逐渐减小。我们要找的“肘部”是曲线上的一个拐点，即增加聚类数带来的惯性减小幅度开始变缓的点。

从图中可以观察到，当 K 值在5附近时，曲线的斜率开始变缓，因此，根据肘部法则，5可能是这个数据集的最佳聚类数。

需要注意的是，肘部法则并不总是会给出一个清晰的肘部点，有时可能会有一些主观判断。在实际应用中，可能还需要考虑业务需求、计算资源等因素来确定最终的 K 值。

5. 算法的变体：

Mini Batch K-Means：对于非常大的数据集，使用随机样本进行K均值迭代，大大加快速度。（参考文献：Sculley, D. (2010). Web-scale k-means clustering. In Proceedings of the 19th international conference on World wide web (pp. 1177-1178).）

K-Means++：这是K均值的一种变体，旨在为初始质心选择更好的起始点，以提高算法的收敛速度和准确性。

引用：

Arthur, D., & Vassilvitskii, S. (2007). k-means++: The advantages of careful seeding. In Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms (pp. 1027-1035). Society for Industrial and Applied Mathematics.

K均值聚类因其简单性和有效性而备受推崇。其最大的优势是处理大数据集的能力。但是，与所有方法一样，K均值也有其局限性，尤其是K值的选择和初始质心的敏感性。尽管如此，它仍然是很多实际应用中的首选。对于未来，随着更多的变体和优化方法的出现，K均值将继续保持其在机器学习领域的主导地位。为了更好地使用K均值，我们建议用户充分了解其数据，并考虑使用如K-Means++这样的方法来优化初始质心的选择。