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1.如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛(幂级数一般都是“盗用”正向级数的判别法，用来判断收敛半径)。
2.反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。
证明：
前 提 ： 1. ∑ n = 0 ∞ a n x 0 n 收 敛 ， 2. ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ r = ∣ x x 0 ∣ < 1 由 1 ： 通 项 收 敛 于 零 且 有 界 ， 设 界 为 M 则 有 ： ∣ a n x n ∣ = ∣ a n x 0 n x n x 0 n ∣ = ∣ a n x 0 n ∣ ∣ x x 0 ∣ n < M r 2 由 于 等 比 级 数 在 公 比 小 于 1 时 收 敛 ， 故 由 比 较 判 别 法 知 幂 级 数 绝 对 收 敛 。 前提：1.\sum_{n=0}^{\infty} a_nx_0^n收敛，2.|x|<|x_0|\\ r=|\frac{x}{x_0}|<1\\ 由1：通项收敛于零且有界，设界为M\\ 则有：|a_nx_n|=| a_nx_0^n \frac{ x^n }{x_0^n} |=| a_nx_0^n|| \frac{ x }{x_0} |^n<Mr^2\\ 由于等比级数在公比小于1时收敛，故由比较判别法知幂级数绝对收敛。 前提：1.n=0∑∞anx0n收敛，2.∣x∣<∣x0∣r=∣x0x∣<1由1：通项收敛于零且有界，设界为M则有：∣anxn∣=∣anx0nx0nxn∣=∣anx0n∣∣x0x∣n<Mr2由于等比级数在公比小于1时收敛，故由比较判别法知幂级数绝对收敛。
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