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1 夹逼准则
准则1：如果数列 { x n } \{x_n\} {
xn}, { y n } \{y_n\} {
yn}及 { z n } \{z_n\} {
zn}满足以下条件：（1）从某项起，即 ∃ n 0 ∈ N + , 当 n > n 0 时，有 y n ≤ x n ≤ z n \exist n_0\in N_+,当n\gt n_0时，有 y_n\le x_n\le z_n ∃n0∈N+,当n>n0时，有yn≤xn≤zn
（2） lim n → ∞ y n = a , lim n → ∞ z n = a \lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a n→∞limyn=a,n→∞limzn=a
那么数列 { x n } \{x_n\} {
xn}的极限存在，且 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a n→∞limxn=a
准则 1 ′ 1′ 1′ ：如果
（1）当 x ∈ U ∘ ( x 0 , r ) ( 或 ∣ x ∣ > M ) x\in\overset\circ U(x_0,r)(或|x|\gt M) x∈U∘(x0,r)(或∣x∣>M)时， g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\le f(x)\le h(x) g(x)≤f(x)≤h(x)
（2） lim x → x 0 g ( x ) = A , lim x → x 0 h ( x ) = A 或者 lim x → ∞ g ( x ) = A , lim x → ∞ h ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A或者\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=A,\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=A x→x0limg(x)=A,x→x0limh(x)=A或者x→∞limg(x)=A,x→∞limh(x)=A
那么 lim x → x 0 f ( x ) 或者 lim x → ∞ f ( x ) 存在，且等于 A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)或者\lim\limits_{x\to\infty}f(x)存在，且等于A x→x0limf(x)或者x→∞limf(x)存在，且等于A
准则1和准则 1 ′ 1′ 1′ 称为夹逼准则。
- 适用：n项和的数列求极限
2 lim x → 0 sin x x \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} x→0limxsinx
利用上面的夹逼准则，我们来证明 lim x → 0 sin x x \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} x→0limxsinx极限存在并求出极限。
证明，如图2-1所示单位圆：
设圆心角 ∠ A O B = x ， 0 < x < π 2 , 则 sin x = A C O A = A C , x = 弧 A B , 且 S △ A O B < S 扇形 O A B < S △ O D B 即， sin x 2 < x 2 < tan x 2 , 整理得 cos x < sin x x < 1 ( 6 − 1 ) 当 − π 2 < x < 0 时， cos x 与 sin x x 都不变，所以当 0 < ∣ x ∣ < π 2 时，不等式 6 − 1 都成立 当 0 < ∣ x ∣ < π 2 时，有 0 < ∣ 1 − cos x ∣ = 1 − cos x = 2 sin 2 x 2 < 2 ( x 2 ) 2 = x 2 2 即 0 < 1 − cos x < x 2 2 当 x → 0 时， x 2 2 → 0 , 由准则 I ′ 有 lim x → 0 cos x = 1 所以有不等式 6 − 1 和准则 I ′ 有 lim x → 0 sin x x = 1 设圆心角\angle AOB=x，0\lt x\lt \frac{\pi}{2} ,则 \\ \sin x=\frac{AC}{OA}=AC,x=弧{AB},且S_{\triangle AOB}\lt S_{扇形OAB}\lt S_{\triangle ODB}\quad 即，\\ \frac{\sin x}{2}\lt\frac{x}{2}\lt\frac{\tan x}{2} ,整理得 \\ \cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt 1\quad (6-1) \\ 当-\frac{\pi}{2}\lt x\lt 0时，\cos x与\frac{\sin x}{x}都不变，所以当0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}时，不等式6-1都成立 \\ 当0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}时，有0\lt|1-\cos x|=1-\cos x=2\sin^2{\frac{x}{2}}\lt2(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2} 即\\ 0\lt1-\cos x\lt \frac{x^2}{2} \\ 当x\to 0时，\frac{x^2}{2}\to 0,由准则I’有\lim\limits_{x\to 0}\cos x = 1 \\ 所以有不等式6-1和准则I’有 \\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 设圆心角∠AOB=x，0<x<2π,则sinx=OAAC=AC,x=弧AB,且S△AOB<S扇形OAB<S△ODB即，2sinx<2x<2tanx,整理得cosx<xsinx<1(6−1)当−2π<x<0时，cosx与xsinx都不变，所以当0<∣x∣<2π时，不等式6−1都成立当0<∣x∣<2π时，有0<∣1−cosx∣=1−cosx=2sin22x<2(2x)2=2x2即0<1−cosx<2x2当x→0时，2x2→0,由准则I′有x→0limcosx=1所以有不等式6−1和准则I′有x→0limxsinx=1
sin x x \frac{\sin x}{x} xsinx的图像2-2,：
lim x → 0 sin x x = lim x → 0 tan x x = lim x → 0 arcsin x x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1 x→0limxsinx=x→0limxtanx=x→0limxarcsinx=1
推广：若 lim f ( x ) = 0 ，则 lim sin f ( x ) f ( x ) = 0 \lim f(x)=0，则\lim \frac{\sin f(x)}{f(x)}=0 limf(x)=0，则limf(x)sinf(x)=0
证明：以 x → x 0 为例 x\to x_0为例 x→x0为例
令 t = f ( x ) ，则当 x → x 0 时，有 t → 0 则 lim x → x 0 sin f ( x ) f ( x ) = lim t → 0 sin t t = 1 令t = f(x)，则当x\to x_0时，有t\to 0 则\\ \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 令t=f(x)，则当x→x0时，有t→0则x→x0limf(x)sinf(x)=t→0limtsint=1
3 准则二
准则II：单调有界数列必有极限。
如果数列 { x n } \{x_n\} {
xn}满足条件： x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ x_1\le x_2\le x_3\le\cdots\le x_n\le x_{n+1}\le\cdots x1≤x2≤x3≤⋯≤xn≤xn+1≤⋯，就称数列 { x n } \{x_n\} {
xn}是单调增加的；如果数列 { x n } \{x_n\} {
xn}满足条件x 1 ≥ x 2 ≥ x 3 ≥ ⋯ ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ ⋯ x_1\ge x_2\ge x_3\ge\cdots\ge x_n\ge x_{n+1}\ge\cdots x1≥x2≥x3≥⋯≥xn≥xn+1≥⋯，
就称数列 { x n } \{x_n\} {
xn}是单调减少的。单调增加和单调减少的数列通常为单调数列。
单调有界定理是数列收敛的充分条件。
例1. 证明数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , ⋯ \sqrt 2,\sqrt{2+\sqrt 2}, \sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}},\cdots 2,2+2,2+2+2,⋯极限存在，并求出其极限。
证明：数列通项 x n = 2 + x n − 1 第一步先证明数列 x n 有界 利用数学归纳法 x 1 = 2 < 2 假设 x k < 2 ，则 x k + 1 = 2 + x k < 2 + 2 = 2 所以数列 x n < 2 即数列 x n 有界 第二步证明数列为单调增加的。 x n + 1 − x n = 2 + x n − x n = ( 2 + x n − x n ) ( 2 + x n + x n ) 2 + x n + x n = ( 1 + x n ) ( 2 − x n ) 2 + x n + x n ，由第一步知道 x n < 2 , 所以 x n + 1 > x n , 即数列 x n 为单调增加数列，则由准则 I I 数列 x n 极限存在。 假设数列 x n 极限为 a ，则对等式 x n + 1 = 2 + x n 求极限得 lim n → ∞ x n + 1 = lim n → ∞ 2 + x n ，得 a = 2 + a , 解方程式得 a = 2 或者 a = − 1 因为 x 1 = 2 > 0 且数列为单调增加数列，所以 数列极限为 2 ，即 lim n → ∞ x n = 2 证明：数列通项 x_n=\sqrt {2+x_{n-1}} \\ 第一步先证明数列{x_n}有界 \\ 利用数学归纳法 x_1=\sqrt 2\lt 2 \\ 假设x_k\lt 2 ，则 \\ x_{k+1}=\sqrt {2+x_k}\lt\sqrt {2+2}=2 所以数列x_n\lt 2 即数列{x_n}有界 \\ 第二步证明数列为单调增加的。 x_{n+1}-x_n=\sqrt {2+x_n}-x_n=\frac{(\sqrt {2+x_n}-x_n)(\sqrt {2+x_n}+x_n)}{\sqrt {2+x_n}+x_n}\\ = \frac{(1+x_n)(2-x_n)}{\sqrt {2+x_n}+x_n} ，由第一步知道 x_n\lt 2 ,所以 \\ x_{n+1}\gt x_n ,即数列{x_n}为单调增加数列，则由准则II数列{x_n}极限存在。 \\ 假设数列{x_n}极限为a，则对等式x_{n+1}=\sqrt {2+x_n}求极限得 \\ \lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt {2+x_n} ，得 \\ a = \sqrt {2+a},解方程式得a=2或者a=-1 因为x_1=\sqrt 2>0且数列为单调增加数列，所以 \\ 数列极限为2，即\lim\limits_{n\to\infty} x_n= 2 证明：数列通项xn=2+xn−1第一步先证明数列xn有界利用数学归纳法x1=2<2假设xk<2，则xk+1=2+xk<2+2=2所以数列xn<2即数列xn有界第二步证明数列为单调增加的。xn+1−xn=2+xn−xn=2+xn+xn(2+xn−xn)(2+xn+xn)=2+xn+xn(1+xn)(2−xn)，由第一步知道xn<2,所以xn+1>xn,即数列xn为单调增加数列，则由准则II数列xn极限存在。假设数列xn极限为a，则对等式xn+1=2+xn求极限得n→∞limxn+1=n→∞lim2+xn，得a=2+a,解方程式得a=2或者a=−1因为x1=2>0且数列为单调增加数列，所以数列极限为2，即n→∞limxn=2
- 适用：递推数列， a n + 1 = f ( a n ) a_{n+1}=f(a_n) an+1=f(an)
- 准则II应用步骤：
- 有界
- 单调
- 如果需要求极限值：建立极限值代数方程，并求解。利用有界确定的范围，对极限取舍。
- 是先证明有界还是先证明单调根据数列或者函数特点确定，无固定顺序。
准则 I I ′ II^{‘} II′:设函数 f ( x ) f(x) f(x)的某个左邻域内单调且有界，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的左极限 f ( x 0 − ) f(x_0^-) f(x0−)必定存在。
4 lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x x→∞lim(1+x1)x
下面考虑x取正整数n而趋于 + ∞ +\infty +∞的情形。
设 x n = ( 1 + 1 n ) n , 证明数列 x n 单调增加并且有界。按二项展开式有， ( 1 + 1 n ) n = ∑ k = 0 n C n k 1 n − k 1 n k , 其中 C n k = n ! k ! ( n − k ) ! , 1 n − k = 1 设x_n=(1+\frac{1}{n})^n,证明数列{x_n}单调增加并且有界。按二项展开式有， \\ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^nC_n^k1^{n-k}\frac{1}{n}^k,其中 \\ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} ,1^{n-k}=1 \\ 设xn=(1+n1)n,证明数列xn单调增加并且有界。按二项展开式有，(1+n1)n=k=0∑nCnk1n−kn1k,其中Cnk=k!(n−k)!n!,1n−k=1
( 1 + 1 n ) n = 1 + n 1 ! ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n + 1 ) n ! ⋅ 1 n n = (1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{n}{1!}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-n+1)}{n!}\cdot\frac{1}{n^n}=\\ (1+n1)n=1+1!n⋅n1+2!n(n−1)⋅n21+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯(n−n+1)⋅nn1=
1 + 1 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + ⋯ + 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) 同理得 ( 1 + 1 n ) n + 1 = 1 + 1 + 1 2 ! ( 1 − 1 n + 1 ) + ⋯ + 1 n ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ⋯ ( 1 − n − 1 n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ⋯ ( 1 − n n + 1 ) 比较 x n 和 x n + 1 的展开式，可以看到除前 2 项之后， x n + 1 的每一项都大于 x n 的对应项，并且 x n + 1 还多了最后一项，其值大于 0 , 因此 x n < x n + 1 这就说明数列 x n 是单调增加的。把 x n 的各项展开式括号中用较大的 1 代替得， x n ≤ 1 + ( 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ + 1 n ! ) ≤ 1 + ( 1 + 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 2 n ) = 3 − 1 2 n − 1 < 3 这说明数列 x n 是有界的。根据极限存在准则 I I ，这个数列 x n 的极限是存在的，通常用字母 e 表示。 lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) \\ 同理得 (1+\frac{1}{n})^{n+1}= 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots(1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots(1-\frac{n}{n+1}) \\ 比较x_n和x_{n+1}的展开式，可以看到除前2项之后，x_{n+1}的每一项都大于x_n的对应项，并且x_{n+1}还多了最后一项，其值大于0,因此 \\ x_n\lt x_{n+1} \\ 这就说明数列{x_n}是单调增加的。把x_n的各项展开式括号中用较大的1代替得，\\ x_n\le 1+(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!})\le 1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n})\\ =3-\frac{1}{2^{n-1}}\lt 3 \\ 这说明数列{x_n}是有界的。根据极限存在准则II，这个数列{x_n}的极限是存在的，通常用字母e表示。\\ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e 1+1+2!1(1−n1)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)同理得(1+n1)n+1=1+1+2!1(1−n+11)+⋯+n!1(1−n+11)(1−n+12)⋯(1−n+1n−1)+(n+1)!1(1−n+11)(1−n+12)⋯(1−n+1n)比较xn和xn+1的展开式，可以看到除前2项之后，xn+1的每一项都大于xn的对应项，并且xn+1还多了最后一项，其值大于0,因此xn<xn+1这就说明数列xn是单调增加的。把xn的各项展开式括号中用较大的1代替得，xn≤1+(1+2!1+3!1+⋯+n!1)≤1+(1+21+221+⋯+2n1)=3−2n−11<3这说明数列xn是有界的。根据极限存在准则II，这个数列xn的极限是存在的，通常用字母e表示。x→∞lim(1+x1)x=e
注意：
- ( 1 + 1 x ) x (1+\frac{1}{x})^x (1+x1)x,其中 ( 1 + 1 x ) (1+\frac{1}{x}) (1+x1)为底， x x x为指数，称为幂指函数，一般式为 u ( x ) v ( x ) , u ( x ) > 0 u(x)^{v(x)},u(x)\gt 0 u(x)v(x),u(x)>0
- lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) = 1 , lim x → ∞ x = ∞ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})=1,\lim\limits_{x\to\infty}x=\infty x→∞lim(1+x1)=1,x→∞limx=∞，称为 1 ∞ 1^\infty 1∞型未定式。
- lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e ⇔ lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e x→∞lim(1+x1)x=e⇔x→0lim(1+x)x1=e
推广：若 lim f ( x ) = 0 \lim f(x)=0 limf(x)=0，则 lim [ 1 + f ( x ) ] 1 f ( x ) = e \lim[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}}=e lim[1+f(x)]f(x)1=e
5 柯西极限存在准则
柯西极限存在准则 数列 x n {x_n} xn收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ϵ \epsilon ϵ，存在正整数 N N N，使得当 m > N , n > N m\gt N , n\gt N m>N,n>N时，有
∣ x m − x n ∣ < ϵ |x_m-x_n|\lt\epsilon ∣xm−xn∣<ϵ
6 后记
❓:
⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math
参考：
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.
[1]黑马程序员.【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p7.
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