理论力学专题:哈密顿力学(II)—-泊松括号

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• 在经典力学中，泊松括号的定义是两个动态变量之间的反对称可交换二次式。泊松括号通常被用来表示物理量之间的相互作用关系，如力和速度之间的相互作用。它在哈密顿力学中有着重要的应用，可以用于描述物理系统的演化、约束和守恒规律等方面。在量子力学中，泊松括号被泛化为泊松括号算符，用于描述量子力学中的相互作用关系。
• 正则变量是理论力学中的一种量度方法，它的主要性质包括：
• 独立的：正则变量中的每个变量是相互独立
• 完备的：正则变量组成的集合是完备

泊松括号和泊松定理

• A B均是正则变量

•  泊松括号的基本性质

泊松括号改写正则方程

• 用泊松括号改写正则方程

•  用泊松括号表示任意函数的微商

泊松定理

泊松定理的内容

如果已知两个运动积分：

 存在第三个运动积分：

泊松定理的局限性

利用泊松定理，可以帮我们寻找新的运动积分。但实际上，它常常只能给出原有积分的线性组合或者恒等式，不能提供新的积分。例如：

• 理论力学中的泊松括号是一种运算符，用于描述相空间量的变化率。具体来说，泊松括号是一种双线性、反对称、满足雅可比恒等式的运算符，用于描述两个相空间量之间的变化率。泊松括号在描述诸如质点、力学系统、波动方程等物理现象中非常有用，并且也在数学上有广泛的应用。在哈密顿力学中，泊松括号经常被用于描述相空间函数的运动方程，它的重要性不言而喻。

Python 中的泊松括号

import sympy from sympy import symbols from sympy import diff def poisson_bracket(f, g, x, p): dfdx = diff(f, x) dgdp = diff(g, p) dfdp = diff(f, p) dgdx = diff(g, x) return dfdx * dgdp - dfdp * dgdx x, p = symbols('x p') f = x 2 + p 2 g = x * p result = poisson_bracket(f, g, x, p) print(result) 

water 一下：

泊松

• 物理学家泊松是法国数学家、物理学家、天文学家和概率论家。他为社会提出了许多重大贡献，其中包括提出了今天称为“泊松分布”和“泊松方程”的概念。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import scipy.sparse as ss from scipy.sparse.linalg import spsolve class PDE2DModel: #均应该传入一个一维二元数组，表示起止值 def __init__(self,x,y): assert len(x)==len(y)==2,"ERROR:UNEXPECTED SV and EV!!" self.x = x self.y = y #hx表示X上的步长 #hy表示Y上的步长 def space_grid(self,hx,hy): M = int(round((self.x[1]-self.x[0])/hx,0)) N = int(round((self.y[1]-self.y[0])/hy,0)) assert M==N>=3,"至少网格数是合理的" X = np.linspace(self.x[0],self.x[1],M+1) Y = np.linspace(self.y[0],self.y[1],N+1) return M,N,X,Y def f(self,X,Y): return 6*X*Y3+6*X3*Y+np.eX*np.sin(Y)-np.eX*np.sin(Y) def solution(self,X,Y): return np.eX*np.sin(Y)-X3*Y3 #左边界 def left(self,Y): return np.sin(Y) #右边界 def right(self,Y): return np.e3*np.sin(Y)-27*Y3 #上边界 def up(self,X): return np.sin(1)*np.eX-X3 #下边界 def down(self,X): return 0*X #解算核心 def NDM5_2D(PDE2DModel,hx,hy): M,N,X0,Y0 = PDE2DModel.space_grid(hx,hy) Y,X = np.meshgrid(Y0,X0) print("X0",X0) print("Y0",Y0) #数值结果保存在U中 从0到N共N+1个 print("M",M) print("N",N) U = np.zeros((M+1,N+1)) U[0,:] = PDE2DModel.left(Y0) U[-1,:] = PDE2DModel.right(Y0) U[:,0] = PDE2DModel.down(X0) U[:,-1] = PDE2DModel.up(X0) D = np.diag([-1/(hy2) for i in range(M-1)]) C = np.zeros((N-1,N-1),dtype="float64") for i in range(N-1): C[i][i] = 2*(1/hx2+1/hy2) if i<N-2: C[i][i+1] = -1/hx2 C[i+1][i] = -1/hx2 u0 = np.array([[PDE2DModel.down(X0[i])] for i in range(1,M)]) un = np.array([[PDE2DModel.up(X0[i])] for i in range(1,M)]) F = np.zeros((M-1)*(N-1)) for j in range(1,N): #for i in range(1,M): F[(N-1)*(j-1):(N-1)*(j)] = PDE2DModel.f(X0[1:M],np.array([Y0[j] for i in range(N-1)])) F[(N-1)*(j-1)] += PDE2DModel.left(Y0[j])/hx2 F[(N-1)*(j)-1] += PDE2DModel.right(Y0[j])/hx2 F[:N-1] -= np.dot(D,u0).T[0] F[(M-1)*(N-2):] -= np.dot(D,un).T[0] F = np.mat(F).T print(F) Dnew = np.zeros(((M-1)*(N-1),(N-1)*(M-1))) for i in range((N-1)*(N-1)): Dnew[i][i] = 2*(1/hx2+1/hy2) if i<(N-2)*(N-1): Dnew[i][i+N-1] = -1/hy2 Dnew[i+N-1][i] = -1/hy2 for i in range(N-1): for j in range(N-2): Dnew[(N-1)*i+j][(N-1)*i+j+1] = -1/hx2 Dnew[(N-1)*i+j+1][(N-1)*i+j] = -1/hx2 print("差分方程构造完成！解算开始！") Unew = np.linalg.solve(Dnew,F) #print(Unew) U[1:-1,1:-1] = Unew[:,0].reshape((N-1,N-1)).T return X,Y,U #数据可视化 def Visualized(): x = np.array([0,3]) y = np.array([0,1]) pde = PDE2DModel(x,y) X,Y,U = NDM5_2D(pde,0.03,0.01) u = pde.solution(X,Y) print("解算完成！绘图已开始！") plt.figure(figsize=(15,5)) ax1 = plt.subplot(131,projection="3d") ax2 = plt.subplot(132,projection="3d") ax3 = plt.subplot(133,projection="3d") ax1.set_title("Numeric Solution") ax1.set_xlabel("x") ax1.set_ylabel("y") ax1.plot_surface(X,Y,U,cmap="gist_ncar") ax2.set_title("Exact Solution") ax2.set_xlabel("x") ax2.set_ylabel("y") ax2.plot_surface(X,Y,u,cmap="gist_ncar") e = np.abs(U-u) ax3.set_title("Error") ax3.set_xlabel("x") ax3.set_ylabel("y") ax3.plot_surface(X,Y,e,cmap="gist_ncar") plt.show() return U,u,X,Y U,u,X,Y = Visualized()