知识点 – 计算几何基本公式

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知识点 – 计算几何基本公式

1.几何公式

1.1三角形

1. 半周长 $P=(a+b+c)/2$
2. 面积 $S=a{H}_a/2=ab\sin (C)/2=\sqrt{(P(P-a)(P-b)(P-c))}$
3. 中线 $M_a=\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}/2=\sqrt{b^2+c^2+2bccos(A)}/2$
4. 角平分线 $T_a=\sqrt{bc((b+c{)}^2-a^2)}/(b+c)=2bc\cos (A/2)/(b+c)$
5. 高线 $H_a=b\sin (C)=c\sin (B)=\sqrt{b^2-((a^2+b^2-c^2)/(2a){)}^2}$
6. 内切圆半径
   $$
   \begin{aligned} r&=S/P\&=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)\

    &=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) \\&=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)/P}\\ &=Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2) \end{aligned} 

   $$

7. 外接圆半径 $R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/(2sin(C))$

1.2四边形

D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角

1. $a^2+b^2+c^2+d^2=D_1^2+D_2^2+4M^2$
2. $S=D1D2\sin (A)/2$

(以下对圆的内接四边形)

3. $ac+bd=D_1{D}_2$
4. $S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d))$,P为半周长

1.3正n边形

R为外接圆半径,r为内切圆半径

1. 中心角 $A=2\pi /n$
2. 内角 $C=(n-2)\pi /n$
3. 边长 $a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2)$
4. 面积 $S=nar/2=n{r}^{2}tan(A/2)=n{R}^{2}sin(A)/2=n{a}^2/(4tan(A/2))$

1.4圆

1. 弧长 $l=rA$
2. 弦长 $a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2)$
3. 弓形高 $h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=atan(A/4)/2$
4. 扇形面积 $S1=rl/2=r^{2}A/2$
5. 弓形面积 $S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2$

1.5棱柱

1. 体积 V=Ah,A为底面积,h为高
2. 侧面积 S=lp,l为棱长,p为直截面周长
3. 全面积 T=S+2A

1.6棱锥

1. 体积 V=Ah/3,A为底面积,h为高

(以下对正棱锥)

2. 侧面积 S=lp/2,l为斜高,p为底面周长
3. 全面积 T=S+A

1.7棱台

1. 体积 $V=(A1+A2+\sqrt{A1A2})h/3$,A1.A2为上下底面积,h为高

(以下为正棱台)

2. 侧面积 $S=(p1+p2)l/2$,p1.p2为上下底面周长,l为斜高
3. 全面积 $T=S+A1+A2$

1.8圆柱

1. 侧面积 $S=2\pi rh$
2. 全面积 $T=2\pi r(h+r)$
3. 体积 $V=\pi r^{2}h$

1.9圆锥

1. 母线$l=sqrt(h^2+r^2)$
2. 侧面积 $S=\pi rl$
3. 全面积 $T=\pi r(l+r)$
4. 体积 $V=\pi r^{2}h/3$

1.10圆台

1. 母线 $l=sqrt(h^2+(r1-r2{)}^2)$
2. 侧面积 $S=\pi (r1+r2)l$
3. 全面积 $T=\pi r1(l+r1)+PIr2(l+r2)$
4. 体积 $V=\pi (r{1}^2+r{2}^2+r1r2)h/3$

1.11球

1. 全面积 $T=4\pi r^2$
2. 体积 $V=4\pi r^3/3$

1.12球台

1. 侧面积 $S=2\pi rh$
2. 全面积 $T=\pi (2rh+r{1}^2+r{2}^2)$
3. 体积 $V=\pi h(3(r{1}^2+r{2}^2)+h^2)/6$

1.13球扇形

1. 全面积 $T=\pi r(2h+r0)$,h为球冠高,r0为球冠底面半径
2. 体积 $V=2\pi r^{2}h/3$

复杂度：

$O(1)$

例题

代码