《线性代数》第一章第三节“分块矩阵”笔记

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第三节 分块矩阵

一、 相关概念

• 将矩阵$A$通过若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为$A$的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵，如：

  $$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 1& 0& -1\\ 1& 2& 2& -3& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ \mathbf{O}& E_3\end{array}\right]$$

其中：
$$A_1=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]，A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -3& 0\end{array}\right],\mathbf{O}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 按列分块矩阵、按行分块矩阵：

设$m\times n$矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

1. 把$A$的每个列作为一个子块，即在列的方向分成$n$块，就得到$A$的按列分块矩阵，记为
   $$A=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\end{array}\right]$$

其中，${\alpha }_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right],j=1,2,\cdots ,n.$

2. 类似的，把$A$的每一行作为一个子块，就得到$A$的按行分块矩阵，记为
   $$A=\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_m\end{array}\right]$$

其中，${\beta }_i=[a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{im}],i=1,2,\cdots ,m.$

二、分块矩阵的运算法则

1. 分块矩阵的加法

   设$A=[a_{ij}{]}_{m\times n},B=[b_{ij}{]}_{m\times n}$，采用相同的分块法（每个对应子块都是同型矩阵），有
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1t}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s1}& B_{s2}& \cdots & B_{st}\end{array}\right]$$

其中$A_{ij}$与$B_{ij}$的行相同，列数也相同，则有：
$$A+B=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}+B_{11}& A_{12}+B_{12}& \cdots & A_{1t}+B_{1t}\\ A_{21}+B_{21}& A_{22}+B_{22}& \cdots & A_{2t}+B_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}+B_s& A_{s2}+B_{s2}& \cdots & A_{st}+B_{st}\end{array}\right]$$

2. 数与分块矩阵的乘法：

   设分块矩阵
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right]$$
   $\lambda$为数，则有：
   $$\lambda A=\left[\begin{array}{cccc}\lambda A_{11}& \lambda A_{12}& \cdots & \lambda A_{1t}\\ \lambda A_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda A_{s1}& \lambda A_{s2}& \cdots & \lambda A_{st}\end{array}\right]$$

3. 分块矩阵的乘法

   设$A=[a_{ij}{]}_{m\times n},B=[b_{ij}{]}_{m\times n}$，将$A,B$分块成
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{t1}& B_{t2}& \cdots & B_{tr}\end{array}\right]$$

其中$A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{it}$的列数分别等于$B_{ij},B_{2j},\cdots ,B_{tj}$的行数，则有
$$AB=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1r}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{s1}& C_{s2}& \cdots & C_{sr}\end{array}\right]$$
其中，$C_{ij}={\sum }_{k=1}^t(A_{ik}{B}_{kj})(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,r)$.

4. 分块矩阵的转置

   设分块矩阵
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right],则A_T=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}^T& A_{21}^T& \cdots & A_{s1}^T\\ A_{12}^T& A_{22}^T& \cdots & A_{s2}^T\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1t}^T& A_{2t}^T& \cdots & A_{st}^T\end{array}\right]$$