反常积分要点_IT分享知识网

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一、反常积分是什么？

我们已经知道，定积分存在有两个必要条件：一是积分区间有限，二是被积函数有界。如果破坏了积分区间的有限性，就引出无穷区间上的反常积分；如果破坏了被积函数的有界性，就引出了无界函数的反常积分。

二、无穷区间上的反常积分的概念与敛散性

设F（x）是f（x）在相应区间上的一个原函数

若① $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx = $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ F（x）- F（a）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。

若② $\int_{-\infty }^{b}$ f（x）dx=F（b）- $\lim_{x\rightarrow -\infty }$ F（x）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。

若③ $\int_{-\infty }^{+\infty }$ f（x）dx = $\int_{-\infty }^{x_{0}}$ f（x）dx + $\int_{x_{0}}^{+\infty }$ f（x）dx右端两个积分都收敛，则收敛，否则发散。

注：- $\infty$ 到+ $\infty$ 之间的不能直接进行积分，需要分成两部分分别积分。

例， $\int_{-\infty }^{+\infty }$ $x^{3}$ dx由图像看几何意义好像是积分为0，收敛，其实对其进行上面③式计算，得到

$\int_{-\infty }^{+\infty }$ $x^{3}$ dx = $\int_{-\infty }^{0}$ $x^{3}$ dx + $\int_{0}^{+\infty }$ $x^{3}$ dx，我们以算右边为例， $\int_{0}^{+\infty }$ $x^{3}$ dx = $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ $\frac{1}{4}$ $x^{4}$ – 0=+ $\infty$ 的，即此反常积分是发散的。

三、无界函数的反常积分的概念与敛散性

设F（x）是f（x）在相应区间上的一个原函数， $x_{0}$ 为f（x）的瑕点（使f（x）在 $x_{0}$ 的领域内无界的点即为瑕点）

若x=a是唯一瑕点，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx=F（b）- $\lim_{x\rightarrow a^{+}}$ F（x）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。

若x=b是唯一瑕点，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx= $\lim_{x\rightarrow b^{-}}$ F（x）-F（a）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。

若x=c∈（a，b）是唯一瑕点，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx= $\int_{a}^{c}$ f（x）dx + $\int_{c}^{b}$ f（x）dx，右端两个积分收敛，则称反常积分收敛，否则发散。

四、敛散性的判别法

（1）无穷区间

比较判别法

设函数f（x），g（x）在区间[a，+ $\infty$ ）上连续，并且0≤f（x）≤g（x）（a≤x≤+ $\infty$ ），则

当① $\int_{a}^{+\infty }$ g（x）dx收敛时， $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx收敛；

当② $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx发散时， $\int_{a}^{+\infty }$ g（x）dx发散；

比较判别法的极限形式

设函数f（x），g（x）在区间[a，+ $\infty$ ）上连续，且f（x）≥0，g（x）＞0， $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lambda$ （有限或 $\infty$ ），则

①当 $\lambda$ ≠ 0且 $\lambda$ ≠ $\infty$ 时， $\int_{a}^{+\infty }$ g（x）dx与 $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx有相同的敛散性；

②当 $\lambda$ = 0时，若 $\int_{a}^{+\infty }$ g（x）dx收敛，则 $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx也收敛；

注： $\lambda$ 为0时说明分子是分母的高阶无穷小，即f（x）趋近于0的速度比g（x）快，即f（x）更接近于0

③当 $\lambda$ = $\infty$ 时，若 $\int_{a}^{+\infty }$ g（x）dx发散，则 $\int_{a}^{+\infty }$ f（x）dx也发散；

（2）无界函数

比较判别法

设f（x），g（x）在（a，b]上连续，瑕点为x=a，且0≤f（x）≤g（x），ze

①当 $\int_{a}^{b}$ g（x）dx收敛，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx收敛；

②当 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx发散，则 $\int_{a}^{b}$ g（x）dx发散。

比较判别法的极限形式

设f（x），g（x）在（a，b]上连续，瑕点为x=a，且f（x）≥0，g（x）＞0（a＜x≤b），

$\lim_{x\rightarrow a^{+}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lambda$ （有限或 $\infty$ ），则

①当 $\lambda$ ≠ 0且 $\lambda$ ≠ $\infty$ 时， $\int_{a}^{b}$ f（x）dx和 $\int_{a}^{b}$ g（x）dx有相同的敛散性；

②当 $\lambda$ = 0时，若 $\int_{a}^{b}$ g（x）dx收敛，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx收敛；

③当 $\lambda$ = $\infty$ 时，若 $\int_{a}^{b}$ g（x）dx发散，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx发散。

（3）四个重要结论

① $\int_{0}^{1}$ $\frac{1}{x^{p}}$ dx，当0<p<1时，其收敛；当p≥1时，其发散；

② $\int_{1}^{+\infty }$ $\frac{1}{x^{p}}$ dx，当p>1时，其收敛；当p≤1时，其发散；

③当0<a<1时，反常积分 $\int_{0}^{1}$ $\frac{\ln x}{x^{a}}$ dx收敛；

④当a>1时，反常积分 $\int_{1}^{+\infty }$ $\frac{\ln x}{x^{a}}$ dx收敛。

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反常积分要点

文章目录

一、反常积分是什么？

二、无穷区间上的反常积分的概念与敛散性

三、无界函数的反常积分的概念与敛散性

四、敛散性的判别法

（1）无穷区间

比较判别法

比较判别法的极限形式

（2）无界函数

比较判别法

比较判别法的极限形式

（3）四个重要结论

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