线性代数2.7矩阵的秩

线性代数2.7矩阵的秩本文介绍了矩阵的秩及其重要性质 包括非零子式的最高阶数定义 阶梯型矩阵的概念以及行简化阶梯型矩阵的特征

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矩阵的秩

矩阵的k阶子式

对于一个矩阵,任取k行k列,重叠的部分叫k阶子式

如下图的k阶子式为[1 1;4 5],称为2阶子式
在这里插入图片描述

非零子式的最高阶数:秩

矩阵行之间的结构

记作r(A)=r

规定0矩阵的秩为:0

秩有关定理和性质

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定理1:

r(A)=r的充分必要条件是:有一个r阶子式不为0 所有r+1阶为0

实际使用很少

如图,可以找到下面矩阵2阶子式不为0,3阶子式为0
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阶梯型矩阵

定义:

  1. 若有0行,零行在非零行的下边
  2. 左起首非零元左边零边个数随行数增加而严格增加
    在这里插入图片描述
    但是这个矩阵不是阶梯型矩阵,因为非零元左边0的个数没有随行数严格增加

在这里插入图片描述
宋氏阶梯折线法

横线可跨多个数,竖线只跨一个数

行简化阶梯型

满足以下条件

  1. 非零行首非零元是1
  2. 首非零元所在列其余元素是0
    在这里插入图片描述
    为什么要用到行阶梯型??

一般的,首非零元有多少个,那个矩阵的秩就是多少。即矩阵的秩=非零行的行数

而且,初等变换不改变矩阵的秩

解题的一般步骤
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一些重要性质

第二条用的少,关键在第二条下面的结论
在这里插入图片描述
即左乘一个可逆矩阵或者右乘一个可逆矩阵,或者左右乘以一个可逆矩阵,秩不变

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