【数学分析01】stolz公式

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STOLZ公式是一种用于求极限的数学工具，主要用于研究两个数列的比值极限。具体公式如下：

设 { a n } \{a_n\} {
an​}和 { b n } \{b_n\} {
bn​}是两个数列，并且$b_n$是严格单调增的，且$b_n\to \infty$当$n\to \infty$。如果极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L$$

存在，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L$$

注意：STOLZ公式的应用前提是$b_n$必须是严格单调增的数列，并且趋向于无穷大。

举例说明：

假设我们有数列$a_n=n^2$和$b_n=n$，我们来验证是否可以应用STOLZ公式来求${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$。

首先，计算$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$：

$$a_{n+1}=(n+1{)}^2=n^2+2n+1$$
$$a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$$
$$b_{n+1}=n+1$$
$$b_{n+1}-b_n=(n+1)-n=1$$
所以：

$$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{2n+1}{1}=2n+1$$

当$n\to \infty$时，$2n+1\to \infty$，因此无法直接应用STOLZ公式，因为我们得到了一个趋向于无穷大的结果。

如果我们考虑一个不同的数列，例如$a_n=\ln n$和$b_n=\ln n$，则：

$$a_{n+1}=\ln (n+1)$$
$$a_{n+1}-a_n=\ln (n+1)-\ln (n)=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$
$$b_{n+1}=\ln (n+1)$$
$$b_{n+1}-b_n=\ln (n+1)-\ln (n)=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$
所以：

$$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}=1$$

因此，根据STOLZ公式：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln n}{\ln n}=1$$