【数学分析】闭区间套定理及其证明

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闭区间套定理描述

如果数列 { a n } , { b n } \{a_n\}, \{ b_n \} {
an​},{
bn​}满足：
(1) $a_{n-1}\le a_n\le b_n\le b_{n-1},\forall n$
(2) ${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$
则有:
(1). 数列 { a n } , { b n } \{ a_n \}, \{ b_n \} {
an​},{
bn​}收敛与相同的极限值c。
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=c$$
(2). c是满足以下条件的唯一实数:
$$a_n\le c\le b_n,\forall n$$

闭区间套定理理解

如果将$[a_k,b_k]$看做一个闭区间，可以看到当$k$逐渐增大时，前面的区间是包含后面的。即
$$[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset ...\supset [a_k,b_k]\supset ...$$
为闭区间的包含关系，所以叫闭区间套定理。定理的意思就是对于无穷的嵌套闭区间，最终一定是收敛的，而且收敛到了唯一的值。

闭区间套定理证明

证明: 对于数列 { a n } \{ a_n \} {
an​}, 有$a_{n-1}\le a_n$，所以数列 { a n } \{ a_n \} {
an​}是一个单调递增数列。同时对于$\forall n$， 都有$a_n<b_1$， 即数列 { a n } \{ a_n \} {
an​}是有上界的，根据之前讲过的单调有界定理，单调递增数列如果有上界，那么其必定是收敛的， 设其收敛到$a$， 即
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$$
同理数列 { b n } \{ b_n \} {
bn​}是一个单调递减有下界的数列，因此也是收敛的，设其收敛到$b$， 即
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$$
下面证明$a=b$。根据第二个条件${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$， 因为里面的 { a n } \{ a_n \} {
an​}， { b n } \{ b_n \} {
bn​}都是收敛的，因此可以用极限的运算法则，将极限符号放到括号里面，即
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$
即 $b-a=0$， b = a。
因此第一个结论证毕，即 { a n } \{ a_n \} {
an​}和 { b n } \{ b_n \} {
bn​}收敛到了相同的极限值。

下面证明第二个结论, 即 { a n } \{ a_n \} {
an​}和 { b n } \{ b_n \} {
bn​} 收敛到的值是唯一的，且满足$a_n\le c\le b_n,\forall n$。

首先根据前面的证明，c为 { a n } \{ a_n \} {
an​}的上确界，同时是 { b n } \{ b_n \} {
bn​} 的下确界，因此一定有
足$a_n\le c\le b_n$。

关于$c$的唯一性，对于收敛数列，不难证明其收敛到的值一定是唯一的。因此$c$自然唯一。

证毕。