C++ 几何算法 – 向量点乘，叉乘及其应用

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一：点乘介绍

        1. 向量点乘：

        2. 向量点乘的性质：

       3. 向量点乘公式：

      4. 向量的点乘的属性：

        （1）：向量与自身做点乘，会得到向量长度的平方：

        （2）：向量长度，为向量与自身点乘后再求平方根：

        （3）：向量投影，将a向量投影到向量b上：

        （4）：向量夹角：

二：叉乘介绍：

        1. 向量叉乘：

        2. 向量叉乘公式：

        3. 向量叉乘的属性：

                判断三个向量是否共面：

三：应用1 – 求两直线的交点：

        （1）2D直线方程：

        （2）将直线1带入直线2中：  ，叉乘等于0，意味着两向量共线。

        （3）求交点：

四：应用2 – 求三个平面的交点：

        （1）：三个平面方程：

        （2）：三个平面方程，三个未知数，利用克拉默法则求解即可。

三：实现

#ifndef _POINT_H_ #define _POINT_H_ #include <iostream> #include <cmath> class Point2D { public: float x, y; Point2D() {} Point2D(float x, float y) : x(x), y(y) {} Point2D &operator+=(const Point2D &t) { x += t.x; y += t.y; return *this; } Point2D &operator-=(const Point2D &t) { x -= t.x; y -= t.y; return *this; } Point2D &operator*=(float t) { x *= t; y *= t; return *this; } Point2D &operator/=(float t) { x /= t; y /= t; return *this; } Point2D operator+(const Point2D &t) const { return Point2D(*this) += t; } Point2D operator-(const Point2D &t) const { return Point2D(*this) -= t; } Point2D operator*(float t) const { return Point2D(*this) *= t; } Point2D operator/(float t) const { return Point2D(*this) /= t; } float dot(const Point2D& b) const { return x * b.x + y * b.y; } friend std::ostream &operator<<(std::ostream &out, const Point2D &t) { out << '(' << t.x << ',' << t.y << ')'; return out; } }; Point2D operator*(float a, const Point2D &b) { return b * a; } float dot(const Point2D& a, const Point2D& b) { return a.dot(b); } float norm(const Point2D& a) { return dot(a, a); } double abs(const Point2D& a) { return sqrt(norm(a)); } double proj(const Point2D& a, const Point2D& b) { return dot(a, b) / abs(b); } double angle(const Point2D& a, const Point2D& b) { return acos(dot(a, b) / abs(a) / abs(b)); } float cross(const Point2D& a, const Point2D& b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; } Point2D intersect(const Point2D& a1, const Point2D& d1, const Point2D& a2, const Point2D& d2) { return a1 + cross(a2 - a1, d2) / cross(d1, d2) * d1; } class Point3D: public Point2D { public: float z; Point3D() {} Point3D(float x, float y, float z) : Point2D(x, y), z(z) {} Point3D &operator+=(const Point3D &t) { x += t.x; y += t.y; z += t.z; return *this; } Point3D &operator-=(const Point3D &t) { x -= t.x; y -= t.y; z -= t.z; return *this; } Point3D &operator*=(float t) { x *= t; y *= t; z *= t; return *this; } Point3D &operator/=(float t) { x /= t; y /= t; z /= t; return *this; } Point3D operator+(const Point3D &t) const { return Point3D(*this) += t; } Point3D operator-(const Point3D &t) const { return Point3D(*this) -= t; } Point3D operator*(float t) const { return Point3D(*this) *= t; } Point3D operator/(float t) const { return Point3D(*this) /= t; } float dot(const Point3D &t) const { return x * t.x + y * t.y + z * t.z; } friend std::ostream &operator<<(std::ostream &out, const Point3D &t) { out << '(' << t.x << ',' << t.y << ',' << t.z << ')'; return out; } }; Point3D operator*(float a, Point3D b) { return b * a; } float dot(const Point3D& a, const Point3D& b) { return a.dot(b); } float norm(const Point3D& a) { return dot(a, a); } double abs(const Point3D& a) { return sqrt(norm(a)); } double proj(const Point3D& a, const Point3D& b) { return dot(a, b) / abs(b); } double angle(const Point3D& a, const Point3D& b) { return acos(dot(a, b) / abs(a) / abs(b)); } Point3D cross(const Point3D& a, const Point3D& b) { return Point3D(a.y * b.z - a.z * b.y, a.z * b.x - a.x * b.z, a.x * b.y - a.y * b.x); } float triple(const Point3D& a, const Point3D& b, const Point3D& c) { return dot(a, cross(b, c)); } Point3D intersect(const Point3D& a1, const Point3D& n1, const Point3D& a2, const Point3D& n2, const Point3D& a3, const Point3D& n3) { Point3D x(n1.x, n2.x, n3.x); Point3D y(n1.y, n2.y, n3.y); Point3D z(n1.z, n2.z, n3.z); Point3D d(dot(a1, n1), dot(a2, n2), dot(a3, n3)); return Point3D(triple(d, y, z), triple(x, d, z), triple(x, y, d)) / triple(n1, n2, n3); } #endif