高数下-空间几何（一）-向量

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一、向量的基本内容

向量即矢量，既有方向又有大小，比如物理量位移、速度、力

向量$\vec{a}=\vec{b}$意味着：
$\vec{a}，\vec{b}$方向相同，大小相等

1.向量的大小

用向量的模表示
模等于1的向量为单位向量
模等于0的向量为零向量

2.向量的方向

可以用方向余弦表示，后面介绍

二、向量的运算

1.向量的加法

使用平行四边形法则或者三角形法则（首尾首尾相连）

2.向量的减法

指向被减数

3.数与向量之积

根据数是>0,=0,<0分为三种情况

三、向量的表示

1.空间直角坐标系

2.向量的表示

当表示在坐标轴时，可以用向量在三个坐标轴的投影分别表示

$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$
好处：方便向量的加减法
$\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\vec{i}+(a_y+b_y)\vec{j}+(a_z+b_z)\vec{k}$
$\lambda \vec{a}=(\lambda a_x)\vec{i}+(\lambda a_y)\vec{j}+(\lambda a_z)\vec{k}$

3.向量的模

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

4.方向角余弦

$\cos \alpha =\frac{x}{|r|}$
$\cos \beta =\frac{y}{|r|}$
$\cos \gamma =\frac{z}{|r|}$
$\cos {\alpha }^2+\cos {\beta }^2+\cos {\gamma }^2=1$

5.向量对坐标的投影

$x=|r|\cos \alpha$
$y=|r|\cos \beta$
$z=|r|\cos \gamma$

四、数量积与向量积

	数量积	向量积
名称	又名内积	又名外积
结果	计算结果为一个数	计算结果为一个向量
含义	$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$	大小： $|a||b|\sin \theta$ 方向：右手定则 注：方向是人为定义，用以区分旋转的方向，比如顺时针和逆时针拧螺丝的作用效果是不同的
物理含义	比如做功	比如拧螺丝的力矩
几何意义	向量a长度✖️向量b在a上的投影	大小为向量ab围成的平行四边形的面积
计算方法	$a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$	$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_x& a_y& a_j\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$
常用公式	$a\cdot b=b\cdot a$	$a\times a=0$ $a\times b=-b\times a$ 注：可以从动量矩的角度来理解记忆
几何应用	求模:$|a|=\sqrt{a\cdot a}$ 求夹角 $cos(\alpha )=\frac{a\cdot b}{|a||b|}$ 判断两向量垂直:$a\cdot b=0$	求同时垂直于a和b的向量:$\vec{a}\times \vec{b}$ 求以a和b为边的平行四边形的面积:$S=|a\times b|$ 判定两向量平行:$a\times b=0$

混合积

公式:$(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$
代数表示:
$(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$
几何含义：表示三个向量张成的平行六面体的体积 （可以从线性代数中行列式的几何含义来考虑）
几何应用：
计算平行六面体的体积
判定三向量共面:$a,b,c共面⟺(abc)=0$