微分线性主部_微积分-9.多元函数微分

“你能保证我能回来吗？”“不能。但是，如果你能回来的话，你就再也不一样了“

——《霍比特人：意外之旅》

在结束了一段旅途之后，我们重新回到了微积分的世界中。但你我都知道，经历过线性代数世界的我们，有些事已经发生了改变。

在将微积分从一元推广向多元以前，先来重新复习一下导数与微分的概念。

导数与可微

我们知道，对于一元函数，其在一点

处的导数定义为：

如果我们切换一下视角，实际上可以将这个式子看作：

换句话说，

处的导数

实际上起到的作用是使得在该点处附近的自变量差值与函数差值近似的形成一个倍乘关系。

如果我们将

记作一个确定数值，比如

，而后将

附近的自变量差值记作为新的自变量，比如

，则我们可以将导数的这个近似函数写作：

这个简单而熟悉的倍乘关系，一下子就能让你联想到我们在《线性代数-0.线性》一文中提到的线性性质之一——齐次性，即

而，微分的定义，函数增量（差值）的线性主部，即将这个函数中的近似符号改为等号：

可以看到，当我们说函数在一点处可微，实际上就是将函数在一点处附近看作是线性的。不过由于对于一元函数，其定义域与值域一般来说是实数域到实数域的映射，即标量到标量的映射，故一般只能体现出线性的齐次性。

但是，当我们从一元推广到二元后，定义域与值域的情况就有了新的变化。

对于二元函数

，参照一元函数的导数定义进行推广，即在一点

处的函数差值与自变量差值的比值。

其中，函数差值的部分没有问题，即

，但自变量的差值就出现了变化，即该如何定义

的差值。

但这在有了线性代数的基础后，就全然不成问题。

在一元函数中，

的邻域，是以

为距离的数轴上的左右两侧范围，其差值为邻域内一点到

的距离；

而二元函数中，

的邻域，则是以该点为圆心，

为半径的圆形区域，其差值则为邻域中的内点到圆心的距离；

而在这个区域内，由两点所构成的“差值”元素，就不仅仅有了距离的度量概念，同时也因在区域中所处位置的不同具有了方向概念——因此由一元到二元的推广，实际上就是函数由标量到向量的推广。