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矩阵的秩和它的特征值有什么关系呢？假设我得到了一个矩阵的特征值，如何根据特征值推断它的秩呢？
我们知道，矩阵的秩代表维数，矩阵的特征值有几何重数和代数重数之分，其中几何重数代表着该特征值对应的特征向量构成的空间(即特征子空间)的维数，也就是在这个空间里的所有向量经过矩阵变换(A)都不改变方向，只改变大小。(特征向量的非零线性组合依旧是特征向量。)代数重数则代表相同特征值的个数。且0＜几何重数≤代数重数。
非零特征值的几何重数并不能决定矩阵的秩，且其必然小于等于矩阵的秩。如下图所示，假设三维矩阵A几何重数为2，代数重数为3，原坐标基经过A描述的变换后变为下图所示。此时矩阵A的秩为3.
而在所有的特征值中最特殊的就是零特征值。零特征值的特征子空间意味着有多少维的向量被压缩到了0.由此，我们可以得出一个美妙的公式：若用r(A)表示矩阵A的秩，t表示矩阵零特征值的几何重数，则r(A)=n-t.
严格的证明需要用到若当标准型，这里就不展开讲了。事实上几乎所有的人都会严格的证明，像我这样通俗易懂的讲出来的人反而少……
最后插句题外话，在找资料的过程中我发现若当标准型其实我在现代控制原理课上学到过，但是我当时就没太学懂，只会做题而已。这是因为老师的授课方式没有遵循马克思主义哲学中的认识论。认识的过程分为两次飞跃，第一次是从实践到认知，即感性认识到理性认识的飞跃，第二次是才是从认识到实践，即理性认识到实践的飞跃。我们的老师跳过了第一次飞跃，直接让我们理性认识，然后让我们做题。这就导致我一直学的似懂非懂。我现在才算是把这个过程整明白。马哲yyds.
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