从线性代数理解余弦定理，三角不等式，A-G不等式和柯西-许瓦兹不等式

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从线性代数理解余弦定理，三角不等式，A-G不等式和柯西-许瓦兹不等式

向量的两种运算

scalar multiplication and addition，分别为数乘和加法。两种运算一起有个好听的名字叫linear combination，也就是线性组合。线性组合是线代的基石之一。比如v和w的线性组合表示为,其中a,b为常数
$$\begin{array}{r}a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\end{array}$$

向量的三种表示方法

1. []的形式，如下面这种

   $\begin{array}{r}\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\end{array}$

2. arrow from $\begin{array}{r}\overrightarrow{0}\end{array}$
3. point in the vector space ，如下图：
   

向量的内积与向量的长度

内积：两个向量的内积定义为：$v^{T}w$

如$\begin{array}{r}v=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\end{array}$，$\begin{array}{r}w=\left[\begin{array}{l}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]\end{array}$，$\begin{array}{r}{v}^{\mathrm{T}}w=1\times 4+2\times 5+3\times 6=32\end{array}$

向量的长度为$||v||$，且有$\begin{array}{r}||v|{|}^2=v^{T}v\end{array}$，以上面为例，$\begin{array}{r}||v|{|}^2=1^2+2^2+3^3=14\end{array}$，其长度为$\begin{array}{r}\sqrt{14}\end{array}$

单位向量：unit vector，$\begin{array}{r}u=\frac{v}{||v||}\end{array}$，与v同方向的单位向量为$\begin{array}{r}u=\frac{1}{\sqrt{14}}\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\end{array}$

向量的夹角：$\begin{array}{r}{u}^{T}U=\cos \theta \end{array}$，U也为单位向量。$\begin{array}{r}\cos \theta =\frac{v^{\mathrm{T}}w}{||v||||w||}\end{array}$

柯西-许瓦兹不等式

根据向量的夹角公式，由于$\begin{array}{r}-1\le \cos \theta \le 1\end{array}$，推出许瓦兹不等式如下：
$$\begin{array}{r}|v^{T}w|\le ||v||.||w||\end{array}$$
其代数表达形式为，下面的v和w为n维向量
$$\begin{array}{r}{\left(\sum _{i=1}^n{v}_i{w}_i\right)}^2\le \sum _{i=1}^n{v_i}^2\sum _{i=1}^n{w_i}^2\end{array}$$

A-G不等式（arithmetic-geometry inequality)

二维：令$\begin{array}{r}v=\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{l}b\\ a\end{array}\right]\end{array}$,根据许瓦兹不等式可得
$$\begin{array}{r}\begin{array}{l}2ab\le a^2+b^2\\ \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\end{array}\end{array}$$
n维的待证

三角不等式（triangle inequality)

$$\begin{array}{r}||a+b||\le ||a||+||b||\end{array}$$

证明如下
$$\begin{array}{r}||a+b|{|}^2=||a|{|}^2+2a^{T}b+||b|{|}^2\end{array}$$
根据许瓦兹不等式易知$\begin{array}{r}||a|{|}^2+2a^{T}b+||b|{|}^2\le {\left(||a||+||b||\right)}^2\end{array}$，所以$\begin{array}{r}||a+b|{|}^2\le {\left(||a||+||b||\right)}^2\end{array}$，得证。如果a,b为标量同样也成立

余弦定理

$$\begin{array}{rl}||v-w|{|}^2=& ||v|{|}^2-2v^{T}w+||w|{|}^2\\ =& ||v|{|}^2-2||v||.||w||\cos \theta +||w|{|}^2\end{array}$$

平行四边形对角线与边长的关系

从图中可以看到
$$\begin{array}{r}||v-w|{|}^2+||v+w|{|}^2=2||v|{|}^2+2||w|{|}^2\end{array}$$
从向量的角度很直观地知道了平行四边形对角线与边长的关系。