连续 — 高等数学

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考点一：函数的连续性

定义

定理

类型一：判断连续性

类型二：已知连续，反求未知参数

笔记

1. 连续就是极限值等于该点函数值，我们就可以认为它是连续的
2. 连续成立的三个条件：
   (1)f(x)在x0的某领域内有定义；
   (2)x->x0,limf(x)存在；（极限连续）
   (3)x->x0,limf(x)=f(x0)（极限相等）

考点二：函数的间断点

定义

分类

（1）第一间断点

可去间断点

跳跃间断点

（2）第二间断点

无穷间断点

振荡间断点

笔记

1. x’ = 1（解析）
2. sinx/x = 1（解析）
3. 若分母为0则极限无定义
4. x→2分之π，若tanx为分母，则tanx = ∞
5. x→∞，x=0（解析）
6. 间断点的判断标准
   无定义的点一定是间断点
   分段函数的分段点可能是间断点
7. 1/∞=0（解析）
8. 1/0=∞（解析）
9. 若 tanx=0，则 x=kπ
10. 求间断点类型，实际上就是求极限的值
11. 洛必达法则（解析）
12. ∞/n 或者 n/∞，结果都为：∞

（☆难）考点三：利用零点定理证明根的存在性

零点定理

解题步骤

笔记

1. ‘∃’这个符号指的是：存在
2. 碰到具体函数，写显然连续
3. 碰到抽象函数，写因为连续，所以连续
4. 如果 ξ ∈ (0,1)直接解即可，但 ξ ∈ [0,1) 或者 ξ ∈(0,1] 再或者 [0,1]这种情况就要分开讨论了，题型难度也会提升很多